[논문 리뷰] Time-inconsistent stochastic control: solving the extended HJB system is a necessary condition for regular equilibria

Kristoffer Lindensjö|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 34인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 일관되지 않은 확률적 제어 문제에서 정규 균형을 이루기 위해서는 확장된 하미르톤-자코비-벨리만(HJB) 시스템을 풀어야 한다는 것을 입증한다. 일반적인 마코프성 이토 확산 프레임워크와 일반적인 시간에 따라 일관되지 않은 실행 보상 및 종료 보상 함수를 가진 설정에서, 이 논문은 모든 정규 균형이 확장된 HJB 시스템의 고전적 해에 대응해야 한다고 증명함으로써, 균형의 특성 분석을 완성한다.

ABSTRACT

Time-inconsistent stochastic control is a game-theoretic generalization of standard stochastic control, with well-known applications in economics and finance. One of the most important results of standard (time-consistent) stochastic control is the characterization of the optimal value function as the unique solution to the Hamilton-Jacobi-Bellman equation (HJB). Naturally, we hope that time-inconsistent stochastic control problems offer a similar possibility. Indeed, Bj\ork, Khapko & Murgoci (2016) introduce a system of PDEs, the extended HJB system, and prove a verification theorem saying that if the extended HJB system has a (classical) solution then this solution is in fact the equilibrium of a corresponding time-inconsistent stochastic control problem (i.e. sufficient conditions for equilibria are presented). The main contribution of the present paper is to show that a regular equilibrium of a time-inconsistent stochastic control problem (if it exists) is necessarily a (classical) solution to a corresponding extended HJB system (i.e. we present necessary conditions for regular equilibria). Our model is that of a general (Markovian) It\^o diffusion and general time-inconsistent running and terminal payoff functions.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 일관되지 않은 확률적 제어 이론에서 중요한 격차를 메우기 위해 정규 균형에 대한 필수 조건을 확립하는 것.
• Björk, Khapko & Murgoci(2016)가 제안한 검증 정리의 확장된 HJB 시스템을 통한 충분 조건을 바탕으로, 이러한 해가 필수 조건이 되는 것을 증명하여 이를 확장하는 것.
• 일반적인 마코프성 이토 확산 설정에서 임의의 시간에 따라 일관되지 않은 실행 보상 및 종료 보상 함수를 가진 균형을 분석하는 것.
• 시간에 따라 일관되지 않은 제어 이론의 이론적 기반을 통합하여, 확장된 HJB 시스템이 정규 균형을 완전히 특성화한다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 저자들은 시간에 따라 일관되지 않은 일반적인 확률적 제어 문제를 시간에 따라 변화하는 실행 보상 및 종료 보상 함수를 가진 마코프성 이토 확산 프레임워크에서 수립한다.
• 그들은 시간에 따라 일관되지 않은 전략을 반영하는 일관성 조건을 만족하는 제어 전략을 정규 균형으로 정의한다.
• 동적 프로그래밍의 논리와 확장된 HJB 시스템의 구조를 활용하여 이러한 균형에 대한 필수 조건을 유도한다.
• 시간에 따라 일관되지 않은 설정에 적합하게 조정된 검증 기법을 사용하여, 모든 정규 균형이 확장된 HJB 시스템의 고전적 해에 대응해야 한다고 증명한다.
• 분석은 확장된 HJB 시스템의 매끄러운 해의 존재성과 기저 확산 과정의 마코프 성질에 의존한다.
• 이 방법은 정규 균형과 확장된 HJB 시스템의 고전적 해 사이에 일대일 대응 관계를 수립함으로써 이론적 특성 분석을 완성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확장된 HJB 시스템의 해가 시간에 따라 일관되지 않은 확률적 제어 문제에서 정규 균형을 이루기 위해 충분할 뿐 아니라 필수 조건인가?
• RQ2 일반적인 마코프성 이토 확산 모델에서 시간에 따라 일관되지 않은 보상 함수를 가진 경우, 확장된 HJB 시스템이 정규 균형을 완전히 특성화할 수 있는가?
• RQ3 정규 균형이 반드시 확장된 HJB 시스템의 고전적 해로부터 유도되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 일반적인 시간에 따라 일관되지 않은 실행 보상 및 종료 보상 함수에 대해 확장된 HJB 시스템의 필수성은 성립하는가?
• RQ5 시간에 따라 일관되지 않은 구조는 확장된 HJB 프레임워크 내에서 균형의 존재성과 유일성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 시간에 따라 일관되지 않은 확률적 제어 문제에서 정규 균형은 반드시 확장된 HJB 시스템의 고전적 해에 대응해야 한다.
• 제시된 마코프성 이토 확산 프레임워크에서 확장된 HJB 시스템은 정규 균형을 특성화하기 위해 충분할 뿐 아니라 필수 조건이기도 하다.
• 정규 균형과 확장된 HJB 시스템의 고전적 해 사이의 일대일 대응 관계를 수립함으로써 이론적 기반을 완성하였다.
• 특정 함수 형태를 요구하지 않더라도 일반적인 시간에 따라 일관되지 않은 실행 보상 및 종료 보상 함수에 대해 필수 조건 결과가 성립한다.
• 분석 결과는 확장된 HJB 시스템이 연구된 문제의 범주에서 정규 균형을 완전히 특성화한다는 것을 확인한다.
• 연구 결과는 확장된 HJB 시스템이 시간에 따라 일관되지 않은 제어에서 정규 균형을 식별하고 분석하는 표준 도구로 유효하다는 것을 검증한다.