[논문 리뷰] Time inhomogeneous Stochastic Differential Equations involving the local time of the unknown process, and associated parabolic operators

Pierre Étoré, Miguel Martínez|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 38인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 시간에 비례하지 않는 일변도 확률미분방정식(SDE)이 시간에 따라 변하는 곡선을 따라 미지의 과정의 국소시간을 포함할 때, 존재성, 유일성 및 마르코프 성질을 확립한다. 이 SDE들은 파라볼릭 PDE와 전송 조건을 갖는 파라볼릭 PDE 사이의 파인만-카크 표현을 통해 연결되며, 해의 정칙성을 증명하고, 시간에 비례하지 않는 설정으로 고전 결과를 시간에 따라 변하는 계수와 이동하는 경계를 포함하여 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we study time-inhomogeneous versions of one-dimensional Stochastic Differential Equations (SDE) involving the Local Time of the unknown process on curves. After proving existence and uniqueness for these SDE under mild assumptions, we explore their link with Parabolic Differential Equations (PDE) with transmission conditions. We study the regularity of solutions of such PDE and ensure the validity of a Feynman-Kac representation formula. These results are then used to characterize the solutions of these SDE as time-inhomogeneous Markov Feller processes.

연구 동기 및 목표

• 시간에 비례하지 않는 설정으로 국소시간을 포함하는 일변도 SDE 이론을 시간에 비례하는 설정에서 확장하기.
• 시간에 따라 변하는 계수와 이동하는 곡선을 따라 국소시간을 포함하는 SDE에 대해 존재성과 경로 유일성을 확립하기.
• 파인만-카크 표현을 통해 이러한 SDE들을 전송 조건이 있는 파라볼릭 PDE와 연결하기.
• 해를 시간에 비례하지 않는 마르코프 펠러 과정으로 특성화하기.
• 시간에 따라 변하는 계수와 이동하는 경계를 갖는 관련 파라볼릭 PDE의 해의 정칙성 증명하기.

제안 방법

• 시간에 비례하지 않는 SDE를 시간에 따라 변하는 곡선을 따라 미지 과정의 국소시간을 포함하도록 설정: $ dX_t = \sigma(t,X_t)dW_t + b(t,X_t)dt + \sum_{i=1}^I \beta_i(t) dL_t^{x_i(t)}(X) $.
• 약한 해와 경로 유일성을 사용하여 계수와 곡선에 대한 미약한 정규성 조건 하에서 강한 해 존재성을 확립한다.
• SDE 해와 전송 조건이 있는 파라볼릭 PDE 해를 연결하는 파인만-카크 표현 공식을 수립한다.
• 시간에 따라 변하는 계수와 이동하는 경계에서 전달 조건이 있는 발산형 파라볼릭 PDE를 분석한다.
• 절단 함수를 사용한 가중치 소볼레프 공간과 에너지 추정을 통해 PDE 해의 정칙성을 증명한다.
• 사전 추정과 미세화 기법을 적용하여 $ L^2 $-정칙성과 시간 도함수의 유계성 확보.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 비례하지 않는 SDE에 대해, 미지 과정의 시간에 따라 변하는 곡선을 따라 국소시간을 포함할 때 존재성과 유일성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 이러한 SDE의 해는 전송 조건이 있는 파라볼릭 PDE와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 시간에 따라 변하는 계수와 이동하는 경계를 갖는 경우, 관련 파라볼릭 PDE의 해는 어떤 정칙성 성질을 갖는가?
• RQ4 국소시간 기여가 있는 시간에 비례하지 않는 설정에서 파인만-카크 표현이 성립하는가?
• RQ5 해 과정은 시간에 비례하지 않는 마르코프 펠러 과정으로 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 계수 $ \sigma, b, \beta_i(t), x_i(t) $ 에 대해 미약한 정규성 조건 하에서 시간에 비례하지 않는 SDE에 대해 존재성과 경로 유일성이 입증된다.
• 해 과정은 시간에 비례하지 않는 마르코프 펠러 과정으로 특성화된다.
• 파인만-카크 표현 공식이 수립되어 SDE 해와 전송 조건이 있는 파라볼릭 PDE 해를 연결한다.
• 관련 파라볼릭 PDE의 해는 $ L^2(0,T;H^1) $ 에 속하며, 시간 도함수와 공간 기울기의 $ L^2 $-유계성이 입증된다.
• 각 이동 경계 $ x_i(t) $ 에서 전달 조건 $ a(x_i+)u_x'(t,x_i+) = a(x_i-)u_x'(t,x_i-) $ 가 만족된다.
• 절단 함수를 사용한 에너지 추정과 미세화 기법을 통해 정규화에 의존하지 않는 균일한 유계성을 확보하여, 가중치 소볼레프 공간에서 해의 정칙성을 입증한다.