[논문 리뷰] Time optimal control problems for some non-smooth systems

Hongwei Lou, Junjie Wen외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 23.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비연속적인 시스템에서 목적집합 근처에서 벡터장이 유계가 아니게 되는 특이 역학을 갖는 시간 최적 제어 문제에 대해 포트리아긴의 최대원리가 성립함을 확립한다. 보조 시스템을 구성하고 타협 제어를 활용하여, 최소한 하나의 최적 타협 제어에 대해 최대원리가 성립함을 증명함으로써, 폭발 또는 진화 정지 시간 제어와 같은 문제들에 대한 최적성 필요조건을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Time optimal control problems for some non-smooth systems in general form are considered. The non-smoothness is caused by singularity. It is proved that Pontryagin's maximum principle holds for at least one optimal relaxed control. Thus, Pontryagin's maximum principle holds when the optimal classical control is a unique optimal relaxed control. By constructing an auxiliary controlled system which admits the original optimal classical control as its unique optimal relaxed control, one get a chance to get Pontryagin's maximum principle for the original optimal classical control. Existence results are also considered.

연구 동기 및 목표

• 목적집합 근처에서 벡터장이 유계가 아니게 되는 비연속 시스템에서의 시간 최적 제어 문제를 다루는 것.
• 부드럽지 않은 상황에서도 최소한의 최적성 조건, 특히 포트리아긴의 최대원리를 이러한 시스템에 대해 확립하는 것.
• 시스템 역학과 제어 집합에 대한 일반적인 가정 하에 최적 제어의 존재성을 증명하는 것.
• 기존의 고전적 최적 제어가 존재하더라도, 최소한 하나의 최적 타협 제어에 대해 최대원리가 성립함을 보이는 것.
• 단조성과 구조적 가정이 만족될 경우, 보조 시스템을 구성함으로써 최대원리를 고전적 최적 제어로 확장할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 특이 역학을 갖는 시스템을 위한 일반화된 시간 최적 제어 문제를 도입하며, 여기서 벡터장은 국소적으로 유계이지만 목적집합 근처에서 그 도함수가 유계가 아니게 된다.
• 해법과 적합한 삼중항을 정의하기 위해, $\mathop{\underline{\rm lim}}_{s\to T^{-}} d(y(s),Q) = 0$ 형태의 극한 조건을 사용하여, 목적집합에 도달하지는 않더라도 그에 수렴하는 해를 允허한다.
• 폭발 행동을 정규화하기 위해, $-h(t)\chi_{[s,\infty)}(t)y(t)$ 형태의 교란 항을 포함하는 보조 제어 시스템을 구성한다.
• 비연속성을 다루기 위해 타협 제어를 사용하며, 정리 2.6를 통해 최소한 하나의 최적 타협 제어에 대해 최대원리가 성립함을 증명한다.
• 원래 시스템을 새로운 시스템으로 변환하기 위해, 매끄럽고 가역적인 사상 $G$를 통한 변수 변경을 적용하며, 이로 인해 표준 가정 (S1)–(S4)를 만족하는 시스템이 되어 기존의 최대원리 결과를 적용할 수 있도록 한다.
• 함수적 방정식을 유도하고, $[0,\bar{t})$에서 거의 모든 곳에서 $\left\langle \bar{\psi}(t), B(t)\bar{u}(t) \right\rangle = \max_{u\in U} \left\langle \bar{\psi}(t), B(t)u \right\rangle$ 를 만족함을 검증하며, $\bar{\psi}(t) \to 0$ 라는 조건을 만족한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비연속 시스템에서 특이 역학을 갖는 시간 최적 제어 문제에 대해 포트리아긴의 최대원리가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 시스템이 폭발 또는 진화 정지 행동을 보일 경우, 최대원리를 고전적 최적 제어에 대해 확립할 수 있는가?
• RQ3 원래의 비연속 시스템에 대해 최대원리를 복원하기 위해 보조 시스템을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 시스템의 단조성은 타협 제어에서 고전적 제어로의 최대원리 확장에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 폭발 또는 진화 정지 시간 제어 문제의 최적 제어 문제는 어떤 의미에서 표준적인 특이 역학을 갖는 시간 최적 제어 문제로 환원될 수 있는가?

주요 결과

• 비연속 시스템에서 특이 역학을 갖는 시간 최적 제어 문제에 대해, 포트리아긴의 최대원리는 최소한 하나의 최적 타협 제어에 대해 성립한다.
• 변수 변경과 정규화를 통해 구성된 보조 시스템에 대해, 고전적 최적 제어는 유일한 최적 타협 제어임을 보여준다.
• 함수적 벡터 $\bar{\psi}(t)$ 는 $\lim_{t\to\bar{t}^{-}} \bar{\psi}(t) = 0$ 를 만족하며, 이는 최적성 조건의 핵심적인 구조적 특성이다.
• 최대 조건 $\left\langle \bar{\psi}(t), B(t)\bar{u}(t) \right\rangle = \max_{u\in U} \left\langle \bar{\psi}(t), B(t)u \right\rangle$ 는 $[0,\bar{t})$에서 거의 모든 곳에서 성립한다.
• 표준 가정 (S1)–(S4) 하에 최적 제어의 존재성이 확립되며, 이들에는 $f$의 국소적 유계성과 연속성 모듈러스가 포함된다.
• 상태 궤도의 폭발 행동는 $\lim_{t\to\bar{t}^{-}} |\bar{y}(t)| = +\infty$ 를 통해 특징지어지며, 이는 $\int_0^{\bar{t}} |\bar{y}(\tau)|^{p-1} d\tau = +\infty$ 를 의미한다.