[논문 리뷰] Time-optimal control with direct collocation and variable discretization

Christoph Rösmann, Artemi Makarow외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 25.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시간 최적화 제어 프레임워크를 제안하며, 가변 분할과 허미트-심슨 보간을 사용한 직접 콜로케이션 기반으로, 시간 간격과 제어 궤적을 함께 최적화한다. 선형 또는 일정한 제어 파arameterization이 2차 스플라인보다 제약 위반과 진동을 피하면서 더 우수한 성능을 보이며, 강성 있는 시스템에 대해 안정적이고 정확한 해를 제공함으로써 실시간 적용 가능성을 향상시킨다.

ABSTRACT

This paper deals with time-optimal control of nonlinear continuous-time systems based on direct collocation. The underlying discretization grid is variable in time, as the time intervals are subject to optimization. This technique differs from approaches that are usually based on a time transformation. Hermite-Simpson collocation is selected as common representative in the field of optimal control and trajectory optimization. Hereby, quadratic splines approximate the system dynamics. Several splines of different order are suitable for the control parameterization. A comparative analysis reveals that increasing the degrees of freedom in control, e.g. quadratic splines, is not suitable for time-optimal control problems due to constraint violation and inherent oscillations. However, choosing constant or linear control splines points out to be very effective. A major advantage is that the implicit solution of the system dynamics is suited for stiff systems and often requires smaller grid sizes in practice.

연구 동기 및 목표

• 비선형 연속 시간 시스템에 대한 시간 최적화 제어를 위한 직접 콜로케이션 방법을 개발하고, 가변 시간 분할을 적용한다.
• 다양한 제어 파arameterization(선형, 2차, 일정)이 제약 준수 및 해 정확도에 미치는 영향을 조사한다.
• 강성 있는 시스템에 대해 수치적 안정성과 수렴성을 확보함으로써 실시간 및 예측 제어 응용을 가능하게 한다.
• 다이나믹스 정확도 및 제약 처리 능력 측면에서 허미트-심슨, 유한 차분 등 다양한 콜로케이션 방법과 다중 사출 기법을 비교한다.
• 베이킹 시스템, 특히 반데폴 오실레이터를 포함한 표준 시험 시스템에서 실제 제어 및 상태 제약 조건 하에서 방법을 검증한다.

제안 방법

• 상태 및 제어 궤적을 조각별 다항식 스플라인을 사용하여 근사하기 위해 허미트-심슨 적분 규칙을 적용한 직접 콜로케이션을 사용한다.
• 콜로케이션 점 간의 시간 간격을 최적화함으로써 가변 시간 분할을 도입하여 최종 시간을 결정 변수로 삼는다.
• 높은 정확도의 궤적 근사화를 위해 허미트-심슨 콜로케이션에서 제어 파arameterization으로 2차 스플라인을 사용한다.
• 스parser 행렬을 활용하기 위해 초그래프 표현을 통해 희소 유한 차분 행렬의 야코비안 및 헤시안을 계산하여 해소기 효율성을 향상시킨다.
• 모델 예측 제어에서 그리드 적응 기법을 구현하여 수렴성과 전방 불변성을 확보하면서 수평 길이를 반복적으로 감소시킨다.
• 결과로 발생하는 비선형 프로그래밍 문제를 IPOPT로 해결하며, HSL-MA57을 선형 해소기로 사용하여 희소성의 이점을 활용해 계산 효율성을 높인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어 파arameterization(선형, 2차, 일정)의 선택이 시간 최적화 제어 문제에서 제약 준수 및 해 품질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 최적화된 시간 간격을 통한 가변 분할이 고정 그리드 또는 시간 변환 방법에 비해 수렴성과 정확도를 향상시키는가?
• RQ3 직접 콜로케이션에서 고차수 제어 스플라인을 사용할 경우 정확도와 제약 위반 간의 상호 갈등은 어떻게 나타나는가?
• RQ4 다양한 콜로케이션 기법(허미트-심슨, 유한 차분)은 강성 있는 시스템에서 다이나믹스 정확도 및 강건성 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 이 방법은 안정성과 제약 준수 보장을 보장하면서 실시간 또는 예측 제어 응용에 얼마나 잘 적합한가?

주요 결과

• 허미트-심슨 콜로케이션에서 2차 제어 스플라인이 가장 높은 다이나믹스 정확도를 달성하지만, 콜로케이션 점에서의 보간으로 인해 자주 제어 범위를 위반한다.
• 선형 및 일정한 제어 파arameterization은 낮은 근사 순서에도 불구하고 더 신뢰할 수 있는 해를 제공하며, 제약 위반과 진동이 적다.
• 강성 있는 시스템을 효과적으로 처리할 수 있었는데, 이는 다이나믹스를 암묵적으로 통합함으로써 가능했으며, 명시적 방법보다 실제 적용 시 더 작은 그리드 크기를 요구했다.
• 전진 차분 콜로케이션은 가장 큰 다이나믹스 오차를 보이며, 1차 정확도와 고정밀 작업에서의 불안정성을 확인한다.
• 그리드 적응 기법은 전방 불변성과 목표 집합 향한 수렴성을 보장하며, 수평 길이를 단축시킨 안정적인 모델 예측 제어를 가능하게 한다.
• 선형 제어 스플라인을 사용한 허미트-심슨 콜로케이션은 실시간 응용에 가장 적합한 정확도, 제약 준수, 계산 효율성의 균형을 이룬다.