[논문 리뷰] Time-reversible and norm-conserving high-order integrators for the nonlinear time-dependent Schr\"{o}dinger equation: Application to local control theory

Julien Roulet, Jiří Vaníček|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 30.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates참고 문헌 43인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 비선형 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식에 대해 고차수, 시간 역행 가능, 노름 보존 기하적 적분기를 소개한다. 특히 국소 제어 이론에 특히 적합하다. 대칭적인 음성 중점 방법의 조합 기반으로 설계된 이 적분기는 기하적 성질을 유지하며, 10−9의 파동함수 오차에서 명시적 분할 연산자 방법 대비 최대 400,000배 빠른 성능 향상을 달성하여 양자 제어 시뮬레이션의 정확성과 효율성을 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

The explicit split-operator algorithm has been extensively used for solving not only linear but also nonlinear time-dependent Schr\"{o}dinger equations. When applied to the nonlinear Gross-Pitaevskii equation, the method remains time-reversible, norm-conserving, and retains its second-order accuracy in the time step. However, this algorithm is not suitable for all types of nonlinear Schr\"{o}dinger equations. Indeed, we demonstrate that local control theory, a technique for the quantum control of a molecular state, translates into a nonlinear Schr\"{o}dinger equation with a more general nonlinearity, for which the explicit split-operator algorithm loses time reversibility and efficiency (because it has only first-order accuracy). Similarly, the trapezoidal rule (the Crank-Nicolson method), while time-reversible, does not conserve the norm of the state propagated by a nonlinear Schr\"{o}dinger equation. To overcome these issues, we present high-order geometric integrators suitable for general time-dependent nonlinear Schr\"{o}dinger equations and also applicable to nonseparable Hamiltonians. These integrators, based on the symmetric compositions of the implicit midpoint method, are both norm-conserving and time-reversible. The geometric properties of the integrators are proven analytically and demonstrated numerically on the local control of a two-dimensional model of retinal. For highly accurate calculations, the higher-order integrators are more efficient. For example, for a wavefunction error of $10^{-9}$, using the eighth-order algorithm yields a $48$-fold speedup over the second-order implicit midpoint method and trapezoidal rule, and $400000$-fold speedup over the explicit split-operator algorithm.

연구 동기 및 목표

• . 이 논문은 국소 제어 이론에서 발생하는 일반적인 비선형 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식에 대해 효율적이고 기하적 성질을 갖춘 적분기가 부족한 문제를 다룬다.
• . 널리 사용되는 명시적 분할 연산자 알고리즘이 시간 역행 가능성을 유지하지 못하고, 일반적인 비선형성에서는 시간에 대해 단지 일계 정확도를 달성한다는 점을 규명한다.
• . 비분리 가능한 해밀토니안을 가진 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 고차수이면서 시간 역행 가능하고 노름 보존이 가능한 적분기를 개발하는 것이 목적이다.
• . 기하적 성질이 필수적인 고정밀도 양자 제어 시뮬레이션을 위한 견고한 수치적 프레임워크를 제공하는 것이 목적이다.

제안 방법

• . 저자들은 비선형 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식을 위한 고차수 적분기를 구성하기 위해 음성 중점 방법의 대칭 조합을 사용한다.
• . 이 적분기는 파동함수의 노름을 보존하고, 일반적인 비선형 항이 존재할 경우에도 시간 역행 가능성을 유지하도록 설계된다.
• . 비분리 가능한 해밀토니안을 처리하기 위해 전체 시간 진동을 기하학적 구조를 존중하는 음성 단계의 조합으로 간주한다.
• . 정확성을 확보하면서도 안정성을 유지하기 위해 각 통합 단계에서 조정 가능한 오차 허용 범위를 갖는 비선형 시스템 해법기를 사용한다.
• . 성능 테스트를 위해 이 적분기는 국소 인구 및 에너지 제어 시나리오에서의 이차원 레티날 모델에 적용된다.
• . 수치적 검증으로는 수렴 분석, 정방-역방향 전파를 통한 시간 역행 가능성 검증, 노름 보존 모니터링이 포함된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 일반적인 비선형 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식에 대해 시간 역행 가능하고 노름 보존이 가능한 고차수 적분기를 구성할 수 있는가?
• RQ2 . 국소 제어 이론에 적용될 경우, 명시적 분할 연산자 알고리즘이 그로스-피타에프스크리 방정식을 초월한 비선형성, 예를 들어 국소 제어 이론에서의 비선형성에 대해 시간 역행 가능하고 효율적인가?
• RQ3 . 다양한 수치적 파arameter와 정밀도 설정 하에서 다양한 적분기의 기하적 성질(노름 보존, 시간 역행 가능성)은 어떻게 비교되는가?
• RQ4 . 고정밀도 파동함수 전파를 달성하기 위해 고차수 기하적 적분기와 2차 및 명시적 방법 간의 계산 효율성 향상은 얼마나 되는가?
• RQ5 . 단정 정밀도 및 비선형 해법기 허용 오차가 실질적으로 음성 적분기의 시간 역행 가능성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• . 8차 적분기는 파동함수 오차가 10−9일 때, 2차 음성 중점 방법 및 트라프레즈로이드 법보다 48배 빠른 성능을 달성한다.
• . 국소 제어 이론에 적용된 명시적 분할 연산자 알고리즘은 그로스-피타에프스크리 방정식에 대해선 2차 정확도를 보이지만, 일반적인 비선형성에서는 시간에 대해 단지 일계 정확도를 보이며 시간에 대해 역행 불가능하다.
• . 음성 중점 방법과 트라프레즈로이드 법은 시간에 대해 역행 가능하지만, 일반적인 비선형성에서는 노름 보존이 가능한 것은 음성 중점 방법뿐이다.
• . 근사적 명시적 TVT 분할 연산자 알고리즘은 노름 보존이 되지 않으며, 단정 정밀도에 관계없이 본질적으로 시간에 대해 역행 불가능하다.
• . 음성 중점 방법의 시간 역행 가능성은 더 작은 시간 간격, 비선형 해법기의 더 높은 오차 허용 범위, 낮은 단정 정밀도로 인해 누적된 반올림 오차로 인해 떨어진다.
• . 시간 역행 가능성을 유지하는 것은 음성 중점 방법과 트라프레즈로이드 법뿐이며, 노름 보존이 가능한 것은 테스트된 시나리오에서 음성 중점 방법과 명시적 분할 연산자 방법 뿐이다.