[논문 리뷰] To be unitary-invariant or not?: a simple but non-trivial proposal for the complexity between states in quantum mechanics/field theory

Run-Qiu Yang, Yu-Sen An외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 05.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 59인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 양자역학 및 양자장론에서 양자 상태에 대한 유니타리 불변 복잡도 측정법을 제안하며, $\bar{\mathcal{C}}(|\psi_1\rangle,|\psi_2\rangle) = -\ln|\langle\psi_1|\psi_2\rangle|^2$로 정의된다. 이는 혼돈 시스템에서 선형 증가를 재현하고, 참조 상태를 식별함으로써 CV 및 CA 호로그래픽 추측을 자연스럽게 설명한다. 이 접근법은 비유니타리 복잡도의 모순을 해결하고, 복잡도 증가를 리아풀로프 지수와 연결시킨다.

ABSTRACT

We make comments on some shortcomings of the non-unitary-invariant and non-bi-invariant complexity in quantum mechanics/field theory and argue that the unitary-invariant and bi-invariant complexity is still a competitive candidate in quantum mechanics/field theory, contrary to quantum circuits in quantum computation. Based on the unitary-invariance of the complexity and intuitions from the holographic complexity, we propose a novel complexity formula between two states. Our proposal shows that i) the complexity between certain states in two dimensional CFTs is given by the Liouville action, which is compatible with the path-integral complexity; ii) it also gives natural interpretation for both the CV and CA holographic conjectures and identify what the reference states are in both cases. Our proposal explicitly produces the conjectured time dependence of the complexity: linear growth in chaotic systems. Last but not least, we present interesting relations between the complexity and the Lyapunov exponent: the Lyapunov exponent is proportional to the complexity growth rate in linear growth region.

연구 동기 및 목표

• 양자장론에서 일관되고 유니타리 불변인 복잡도 정의의 부족을 해결하기 위해.
• CV 및 CA 호로그래픽 복잡도 추측의 배경이 되는 참조 상태를 명확히 하기 위해.
• 혼돈 시스템에서 복잡도의 시간 진화를 유니타리 불변 공식과 조율하기 위해.
• 유니타리 불변 복잡도가 예상하는 세 단계의 시간 진화(선형 증가, 포화, 재진입)를 재현할 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 양자 상태 간의 겹침을 기반으로 한 새로운 복잡도 공식을 제안: $\bar{\mathcal{C}}(|\psi_1\rangle,|\psi_2\rangle) = -\ln|\langle\psi_1|\psi_2\rangle|^2$.
• 이 공식이 2차원 CFT에서 리아풀로프 작용으로 축소됨을 보이며, 경로적분 복잡도와 연결됨을 밝힘.
• CV 추측의 참조 상태를 국소 연산자에 의해 페르투브된 TFD 상태로 식별함.
• CA 추측의 참조 상태를 경계 필드 연산자의 고유상태로 식별함.
• 혼돈 시스템에서 선형 복잡도 증가 $\bar{\mathcal{C}}(t) = \lambda_L t + \cdots$ 를 도출하며, 증가율이 리아풀로프 지수 $\lambda_L$ 비례함을 보임.
• 선형 증가가 끝나는 붕괴 시간 $t_{cl} \sim -\frac{1}{2\lambda_L}\ln(c_1\hbar)$ 를 수립함으로써 양자 재진입과 일관됨.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유니타리 불변 복잡도 측정법이 혼돈 양자 시스템에서 예상되는 복잡도의 시간 진화를 재현할 수 있는가?
• RQ2 CV 및 CA 호로그래픽 복잡도 추측의 배경이 되는 참조 상태는 무엇인가?
• RQ3 2차원 CFT에서 리아풀로프 작용을 어떻게 복잡도 측정법으로 해석할 수 있는가?
• RQ4 양자장론에서 유니타리 불변성을 유지하는 일관되고 내재된 국소성 정의가 존재하는가?
• RQ5 선형 영역에서 리아풀로프 지수를 복잡도 증가율과 직접적으로 연결할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 복잡도 공식 $\bar{\mathcal{C}}(|\psi_1\rangle,|\psi_2\rangle) = -\ln|\langle\psi_1|\psi_2\rangle|^2$ 는 유니타리 불변이며, 혼돈 시스템에서 선형 복잡도 증가 $\bar{\mathcal{C}}(t) = \lambda_L t + \cdots$ 를 재현한다.
• 장의 고유상태와 기저 상태 사이의 복잡도는 분할 함수로 주어지며, 고전적 근사에서 온셸프 유클리드 작용을 yielding 하여 리아풀로프 작용과 연결된다.
• CV 추측은 TFD 상태와 그 국소 연산자에 의해 페르투브된 상태 사이의 복잡도로 해석되며, CA 추측은 TFD 상태와 필드 고유상태 사이의 복잡도에 해당한다.
• CV 및 CA 추측에서 복잡도의 시간 진화는 서로 다른 참조 상태 덕분에 자연스럽게 설명되며, 이는 초기 시간 행동의 차이를 해결한다.
• 복잡도 증가율은 리아풀로프 지수 $\lambda_L$ 비례하며, 양자장론에서 $\dot{\bar{\mathcal{C}}}(t) \propto E + \cdots$ 로 표현되며, 기존 결과와 일치한다.
• 이 제안은 푸비니-슈타디 거리의 모순를 해결하며, 후기 시간에서 호로그래픽 복잡도와도 호환되어, QFT에서 유니타리 불변 복잡도의 타당성을 뒷받침한다.