[논문 리뷰] Toda chain from the kink-antikink lattice

Song He, Yunguo Jiang외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 23.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 38인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 1+1차원 스칼라 양자장 이론에서 $φ^4$, $φ^6$, $φ^8$ 포텐셜을 가진 키앙크-반키앙크 격자로부터 토다 격자를 유도한다. 먼 거리에 있는 키앙크 간의 주요 및 다음 주요 차수의 힘을 계산함으로써, 저자들은 키앙크 격자 역학이 주로 정상적인 토다 격자로 정확히 대응되며, 다음 차수에서는 새로운 변형된 토다 격자로 대응됨을 보여준다. 이 변형된 시스템은 고차수 보정에 의해 완전한 이적성은 깨지지만, 근사적으로 이적성임을 나타낸다.

ABSTRACT

In this paper, we have studied the kink and antikink solutions in several neutral scalar models in 1+1 dimension. We follow the standard approach to write down the leading order and the second order force between long distance separated kink and antikink. The leading order force is proportional to exponential decay with respect to the distance between the two nearest kinks or antikinks. The second order force have a similar behavior with the larger decay factor, namely $3\over 2$. We make use of these properties to construct the kink lattice. The dynamics of the kink lattice with leading order force can be identified as ordinary nonperiodic Toda lattice. Also the periodic Toda lattice can be obtained when the number of kink lattice is even. The system of kink lattice with force up to the next order corresponds to a new specific deformation of Toda lattice system. There is no well study on this deformation in the integrable literatures.We found that the deformed Toda system are near integrable system, since the integrability are hindered by high order correction terms. Our work provides a effective theory for kink interactions and a new near or quasi integrable model.

연구 동기 및 목표

• 1+1차원 스칼라 양자장 이론에서의 다중키앙크 해와 이적성 시스템, 특히 토다 격자 간의 역학적 대응을 탐구하기 위해.
• $φ^4$, $φ^6$, $φ^8$ 모델에서 키앙크와 반키앙크 간의 장거리 힘을 분리 거리에 대해 두 번째 차수까지 계산하기 위해.
• 유도된 키앙크 격자 역학이 주로 정상적인 비주기적 토다 격자와 등장하는 것으로 밝혀지며, 다음 차수에서는 새로운 변형된 토다 격자로 나타남을 규명하기 위해.
• 키앙크 상호작용에서 유도된 변형된 토다 시스템의 이적성 성질을 조사하기 위해.

제안 방법

• 분석적 방법을 사용하여 $φ^4$, $φ^6$, $φ^8$ 스칼라 양자장 이론에서 넓게 떨어진 키앙크-반키앙크 쌍 간의 주요 차수 및 두 번째 차수의 힘을 계산하기 위해.
• 힘 법칙이 거리에 따라 지수적으로 감쇠되며, 주요 차수의 경우 감쇠 인자는 1, 두 번째 차수의 경우 $3/2$임을 규명하기 위해.
• 키앙크 위치를 토다 격자 위치 변수와 대응시킴으로써 키앙크 격자 역학을 토다 격자로 매핑하기 위해.
• 플라슈카의 변환을 사용하여 두 번째 차수의 힘에서 유도된 변형된 토다 시스템에 대해 $N \times N$ 라크스 쌍 표현을 구성하기 위해.
• 유도된 시스템의 이적성 분석을 수행하여 고차수 보정 항이 완전한 이적성을 파괴함으로써 시스템이 근사 이적성임을 보여주기 위해.
• 토다 시스템에서 $2 \times 2$ 라크스 쌍 표현을 통해 다중키앙크 해와 클러스터 좌표 간의 대응을 설정하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1+1차원 스칼라 양자장 이론에서의 키앙크-반키앙크 격자 역학은 토다 격자 시스템으로 정확히 매핑될 수 있는가?
• RQ2 주요 차수 및 다음 주요 차수의 힘은 $φ^4$, $φ^6$, $φ^8$과 같은 다양한 자기상호작용 포텐셜 간에 일반적인 성질을 가지는가?
• RQ3 두 번째 차수의 키앙크 상호작용을 포함할 경우 나타나는 토다 유사 시스템의 성격은 무엇인가?
• RQ4 유도된 변형된 토다 시스템은 이적성인지, 아니면 근사 이적성 모델인가?
• RQ5 다중키앙크 해는 토다 시스템의 파울리 구조 및 클러스터 좌표와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 먼 거리에 있는 키앙크와 반키앙크 간의 주요 차수의 힘이 $e^{-|q_i - q_{i+1}|}$로 감쇠되며, 이는 비주기적 토다 격자의 힘 법칙과 정확히 일치한다.
• 두 번째 차수의 힘이 $e^{-\frac{3}{2}|q_i - q_{i+1}|}$로 감쇠되며, 이는 $φ^4$, $φ^6$, $φ^8$ 모델 전반에 걸쳐 일반적이다.
• 주로 주요 차수의 힘만을 포함하는 키앙크 격자는 비주기적 토다 격자와 등장하며, 키앙크의 수는 격자 위치의 수와 같다.
• 키앙크-반키앙크 쌍의 수가 짝수일 경우, 시스템은 주기적 토다 격자로 매핑되며, 진공 경계 조건과 일치한다.
• 두 번째 차수의 힘을 포함하면 추가적인 지수 상호작용 항을 가진 새로운 변형된 토다 격자 시스템이 유도되며, 고차수 보정에 의해 완전한 이적성이 깨지므로 이는 완전한 이적성이 아니다.
• 변형된 토다 시스템은 플라슈카의 변환을 통해 라크스 쌍 표현을 갖지만, 이적성은 고차수 항에 의해 방해받기 때문에 근사 이적성 또는 준이적성으로 분류된다.