[논문 리뷰] Toeplitz band matrices with small random perturbations

Johannes Sjoestrand, Martin Vogel|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 25.

Random Matrices and Applications참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 작은 복소 가우시안 랜덤 교란에 의해 영향을 받는 큰 $N\times N$ 토플리츠 밴드 행렬의 스펙트럼 행동을 연구한다. 확률적 와일 법칙을 수립하고, 높은 확률로 대부분의 고유값이 기호 곡선 $p(S^1)$에서 $\mathcal{O}(N^{-1+\varepsilon})$ 이내에 위치함을 증명하여, 비정규성에도 불구하고 고유값이 스펙트럼 곡선 근처에 집중됨을 보여준다.

ABSTRACT

We study the spectra of $N imes N$ Toeplitz band matrices perturbed by small complex Gaussian random matrices, in the regime $N\gg 1$. We prove a probabilistic Weyl law, which provides an precise asymptotic formula for the number of eigenvalues in certain domains, which may depend on $N$, with probability sub-exponentially (in $N$) close to $1$. We show that most eigenvalues of the perturbed Toeplitz matrix are at a distance of at most $\mathcal{O}(N^{-1+\varepsilon})$, for all $\varepsilon >0$, to the curve in the complex plane given by the symbol of the unperturbed Toeplitz matrix.

연구 동기 및 목표

• 작은 랜덤 교란 하에서 비자기대칭 토플리츠 밴드 행렬의 스펙트럼 분포를 이해하기 위해.
• 도메인의 크기가 $N$에 의존할 수 있는 영역에서 고유값의 수에 대한 확률적 와일 법칙을 수립하기 위해.
• 복소 평면에서 기호 곡선 $p(S^1)$에 대한 고유값의 渐近적 국소화를 분석하기 위해.
• 랜덤 교란이 비현실적 고유값을 억제하고 본질 스펙트럼 근처의 스펙트럼 집중을 복원함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 교란된 토플리츠 연산자의 해석적 및 고유값 수세기 분석을 위해 그루신 문제 프레임워크를 사용하기 위해.
• 대규모 타이밍 추정과 보렐-칸텔리 추론을 통해 확률적 와일 법칙을 적용하여 고유값 분포를 제어하기 위해.
• 한계 측도의 그린 함수와 고유값 수를 연결하기 위해 로그 잠재력 $U_{\mu}(z) = -\frac{1}{2\pi}\int \log|z-w|\,d\mu(w)$를 활용하기 위해.
• 그루신 프레임워크 내에서 비대칭 블록 $E_{-+}^\delta(z)$의 점근 전개 및 추정을 통해 행렬식 $\det(P_N^\delta - z)$를 분석하기 위해.
• 작은 교란 $\delta Q_\omega$를 i.i.d. 복소 가우시안 원소를 가진 랜덤 행렬 이론과 힐버트-슈미트 노름을 사용하여 모델링하기 위해.
• 로그arithmic 잠재력의 수렴을 통해 $\mathcal{D}'$에서의 수렴을 이용하여 경험적 스펙트럼 측도 $\xi_N$ 이론이 $\xi = p_*\left(\frac{1}{2\pi}L_{S^1}\right)$로 수렴함을 확립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 비자기대칭 토플리츠 밴드 행렬의 스펙트럼은 작은 랜덤 교란 하에서 어떻게 행동하는가?
• RQ2 모든 $N \to \infty$ 및 교란 $\delta \ll 1$ 일 때, 복소 평면에서 고유값의 渐近적 분포는 어떻게 되는가?
• RQ3 크기가 $N$에 따라 달라지는 도메인에서 고유값의 수에 대한 확률적 와일 법칙을 수립할 수 있는가?
• RQ4 고유값이 기호 곡선 $p(S^1)$ 근처에 얼마나 집중되는가?
• RQ5 교란된 행렬의 경험적 스펙트럼 측도는 무한 토플리츠 연산자의 스펙트럼 측도로 어떻게 수렴하는가?

주요 결과

• 모든 $N$에 대해, $\Omega_N$ 도메인 내 고유값의 수는 확률적으로 $N$에 대해 지수적으로 가까운 확률로 확률적 와일 법칙에 의해 점 渐近적으로 주어진다.
• 모든 $\varepsilon > 0$에 대해, $P_N^\delta$의 거의 모든 고유값은 $\mathcal{O}(N^{-1+\varepsilon})$ 이내에 기호 곡선 $p(S^1)$에 위치한다.
• 모든 $N \to \infty$일 때, 경험적 스펙트럼 측도 $\xi_N$ 은 거의 확실히 $\xi = p_*\left(\frac{1}{2\pi}L_{S^1}\right)$로 약한 수렴한다.
• 거의 모든 $z \in \mathbb{C}$ 에 대해, 로그 잠재력 $U_{\xi_N}(z)$ 는 거의 확실히 $U_\xi(z)$ 로 수렴하며, 이는 스펙트럼 측도의 수렴을 의미한다.
• 큰 $N$에 대해, $P_N^\delta$ 의 연산자 노름은 $\|p\|_{L^\infty(S^1)} + 1$ 이하로 유계이다. 이는 높은 확률로 성립한다.
• 고유값 분포는 교란에 대해 강건하다: 랜덤 행렬 $\delta Q_\omega$ 는 비현실적 고유값을 억제하고 $p(S^1)$ 근처로 집중을 유도한다.