[논문 리뷰] Tomography of one and two qubit states and factorisation of the Wigner distribution in prime power dimensions

Thomas Durt|ArXiv.org|2006. 04. 17.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 소수 거듭제곱 차원에서 상호직교기저(MUBs)와 이산 위그너 분포를 사용하여 1 큐비트 및 2 큐비트 시스템의 양자 상태 톰그래피를 최적화하는 방법을 제시한다. 이는 두 큐비트 상태의 위그너 분포가 차원이 2의 거듭제곱일 때에만 국소적 위그너 분포의 곱으로 분해될 수 있음을 보여주며, 짝수 차원과 홀수 차원 사이의 핵심적 차이를 규명한다. 이는 국소적 톰그래피와 정보적으로 완전한 측정에 대한 함의를 가진다.

ABSTRACT

We study different techniques that allow us to gain complete knowledge about an unknown quantum state, e.g. to perform full tomography of this state. We focus on two apparently simple cases, full tomography of one and two qubit systems. We analyze and compare those techniques according to two figures of merit. Our first criterion is the minimisation of the redundancy of the data acquired during the tomographic process. In the case of two-qubits tomography, we also analyze this process from the point of view of factorisability, so to say we analyze the possibility to realise the tomographic process through local operations and classical communications between local observers. This brings us naturally to study the possibility to factorize the (discrete) Wigner distribution of a composite system into the product of local Wigner distributions. The discrete Heisenberg-Weyl group is an essential ingredient of our approach. Possible extensions of our results to higher dimensions are discussed in the last section and in the conclusions.

연구 동기 및 목표

• 1 큐비트 및 2 큐비트 시스템의 양자 상태 톰그래피에서 데이터 중복을 최소화하기 위해.
• 복합 양자 시스템의 위그너 분포가 국소적 위그너 분포의 곱으로 분해될 수 있는지 조사하기 위해.
• 국소적 조작과 고전적 통신(LOCC)이 상태 재구성에 충분한 조건을 규명하기 위해.
• 정보적으로 완전한 측정을 가능하게 하는 이산 하이젠베르크-베이글 그룹과 유한체의 역할을 탐색하기 위해.
• 측정의 최소성과 분해 가능성 측면에서 PVM과 POVM 기반 톰그래피의 효율성을 비교하기 위해.

제안 방법

• 유한 차원 힐베르트 공간에서 위그너 함수와 단계점 연산자를 구성하기 위해 이산 하이젠베르크-베이글 그룹을 기본 도구로 사용한다.
• 소수 거듭제곱 차원에서 상호직교기저(MUBs)를 적용하여 최소한의 중복성을 가진 정보적으로 완전한 POVM을 달성한다.
• 차원 d가 소수 거듭제곱일 경우 갈로아 체를 기반으로 한 대수적 구성법을 사용해 웰리 및 위그너 연산자를 정의한다.
• 복합 차원에서의 위그너 분포의 분해 가능성 분석을 위해 단계-공간 색인 m_{a,b}를 분해한다. 예를 들어 d = 15 = 3×5.
• 모듈로 산술과 지수 항등식을 사용하여 exp(i2πm_{a,b}n_{a,b}/d)가 하위차원에 대한 곱으로 분해되는지 테스트한다.
• 기존 접근법, 특히 필드 확장을 사용한 Rubin과 Pittenger의 대수적 방법과의 비교를 통해 일관성과 적용 범위를 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 거듭제곱 차원에서 두 큐비트 상태의 위그너 분포가 국소적 위그너 분포의 곱으로 분해될 수 있는가?
• RQ2 차원이 2의 거듭제곱일 경우, 예를 들어 d = 2^m (m > 1)일 때 위그너 분포의 분해가 가능한가?
• RQ3 짝수 차원과 홀수 차원의 소수 거듭제곱 차원 간에 위그너 분포의 분해 가능성은 어떻게 다를까?
• RQ4 국소적 조작과 고전적 통신(LOCC)이 복합 시스템의 상태 재구성에 얼마나 충분한가?
• RQ5 유한체와 갈로아 체 산술은 위그너 함수의 구성과 분해에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• d = 2^m (m = 1, 2, 3, ...)일 때 두 큐비트 위그너 분포는 국소적 위그너 분포의 곱으로 분해 가능하지만, d = 8일 때 m = 3인 경우에는 불가능하다.
• 홀수 소수 거듭제곱 차원, 예를 들어 p가 홀수일 때 d = p^m인 경우, Rubin과 Pittenger의 결과에 따르면 필드 확장을 통해 분해가 가능하지만, 본 연구는 이는 오직 짝수 차원에서만 확인됨을 확인한다.
• d = 15 = 3×5일 때, 위그너 함수는 exp(i2πm_{a,b}n_{a,b}/15) = exp(i2πm_a n_a /3) × exp(i2πm_b n_b /5)로 분해되며, 이는 모듈로 분해를 보여준다.
• 소수 거듭제곱 차원 d = p^m에서의 이산 위그너 함수는 갈로아 체 연산을 사용해 구성할 수 있으며, 그 분해 가능성은 d의 산술적 구조에 따라 달라진다.
• 본 연구는 짝수 차원과 홀수 차원의 소수 거듭제곱 차원 사이에 명확한 차이를 규명한다: m > 1일 때, 예를 들어 d = 8일 경우 짝수 차원에서는 분해가 불가능하지만, 홀수 차원에서는 필드 확장 기법을 통해 가능하다.
• 결과적으로 MUBs는 소수 거듭제곱 차원에서만 존재하며, 그 구조는 유한체와 사영 기하학과 깊이 연관되어 있다. 이는 MUBs가 d = 6 또는 d = 10인 경우 존재하지 않을 것이라는 추측을 지지한다.