[논문 리뷰] Toom-Cook Multiplication: Some Theoretical and Practical Aspects

M. J. Kronenburg|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 08.

Cryptography and Residue Arithmetic참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복수의 프로세서 환경에서의 효율성을 강조하며, Toom-Cook 곱셈에 대한 이론적 및 실용적 분석을 제시한다. B-방식 Toom-Cook 곱셈의 복잡도를 유도하고, 보간 방법 중 짝수-홀수 최적화를 포함하여 증명하며, 8개의 스레드를 사용할 때 10⁸ 자리에서 단일 스레드 GMP FFT 곱셈 대비 최대 3.81배의 성능 향상을 달성한 32비트 C++/어셈블리 구현을 제공한다.

ABSTRACT

Toom-Cook multiprecision multiplication is a well-known multiprecision multiplication method, which can make use of multiprocessor systems. In this paper the Toom-Cook complexity is derived, some explicit proofs of the Toom-Cook interpolation method are given, the even-odd method for interpolation is explained, and certain aspects of a 32-bit C++ and assembler implementation, which is in development, are discussed. A performance graph of this implementation is provided. The Toom-Cook method can also be used to multithread other types of multiplication, which is demonstrated for 32-bit GMP FFT multiplication.

연구 동기 및 목표

• B-방식 Toom-Cook 곱셈의 이론적 복잡도를 분석하고, 그 점근적 시간 복잡도를 유도하기.
• 뉴턴 및 라그랑주 표현을 사용한 Toom-Cook 보간 방법에 대한 명시적 증명 제공.
• 짝수-홀수 보간 기법을 설명하고 최적화하여 계산 오버헤드를 2배로 감소시키기.
• GMP FFT 곱셈과 같은 다른 곱셈 알고리즘에 대해 Toom-Cook을 다중스레딩으로 활용하는 방법을 설명하기.
• 다중코어 시스템에서 성능 벤치마크를 제공하는 32비트 C++ 및 어셈블리 구현을 제시하고 평가하기.

제안 방법

• B-방식 Toom-Cook의 시간 복잡도를 $ T(N) = N^{rac{/log(2B-1)}{/log(B)}} $ 로 유도하여, 이차 이하의 스케일링을 보여준다.
• 나누기 차수를 이용한 재귀적 계수 $ \alpha_k $ 를 정의하여 곱셈 다항식을 복원하는 뉴턴 보간을 사용한다.
• 다항식을 짝수 및 홀수 부분으로 나누어 짝수-홀수 방법을 적용함으로써 보간 비용을 $ (2n)^2Y $ 에서 $ 2n^2Y $ 로 감소시킨다.
• 비트 시프트를 통해 효율적인 곱셈을 가능하게 하는 작은 보간 점 $ x_k = 0,1,2,4,...,2^{n-1} $ 을 사용한다.
• 다중 프로세서에서 독립적인 부분 곱셈을 병렬화하기 위해 상위 수준에서 Toom-Cook을 통합한다.
• 각 스레드가 FFT 기반 곱셈을 수행하는 다중스레딩 프레임워크 내에서 Toom-Cook과 GMP FFT 곱셈을 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 B-방식 Toom-Cook 곱셈의 이론적 시간 복잡도는 무엇이며, B 값이 증가함에 따라 어떻게 스케일링되는가?
• RQ2 Toom-Cook 곱셈에서 다항식 보간은 어떻게 효율적으로 계산할 수 있으며, 비용을 줄이는 최적화 방법은 무엇인가?
• RQ3 Toom-Cook는 GMP FFT 곱셈과 같은 다른 곱셈 알고리즘을 다중스레딩으로 활용하는 데 얼마나 효과적인가?
• RQ4 현대의 다중코어 시스템에서 32비트 C++/어셈블리 구현을 통해 실제로 얻을 수 있는 성능 향상은 어느 정도인가?
• RQ5 짝수-홀수 보간 방법은 계산 비용을 어떻게 감소시키며, 병렬 처리에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 10⁸ 자리에서 8개의 스레드를 사용한 32비트 Toom-Cook 구현은 단일 스레드 GMP FFT 곱셈 대비 3.81배의 성능 향상을 달성했다.
• 10⁸ 자리에서 GMP FFT를 사용하는 다중스레딩 Toom-Cook은 1스레드일 경우 22.3초에서 8스레드일 경우 7.7초로 감소하여 2.90배 향상되었다.
• 큰 입력에 대해 관측된 성능 기울기 1.265는 32방식 Toom-Cook의 이론적 복잡도 1.239에 매우 가까운 수준이었다.
• 짝수-홀수 보간 방법은 보간 시간을 2배로 감소시키며, 짝수 및 홀수 부분을 별개로 병렬 처리할 수 있도록 한다.
• 멀티스레딩 없이 메모리 사용량은 입력 크기의 최대 6배까지 증가했고, 멀티스레딩 시에는 입력 크기의 $ 6 \cdot \text{nthr}/B $ 배로 증가했다.
• 64비트 시스템과 더 높은 B 값(예: B=32)을 사용할 경우 성능 향상이 추가로 가능할 수 있으나, 32비트 프로토타입에서는 B=16을 사용했다.