[논문 리뷰] Topics in Quantum Dynamics

Arkadiusz Jadczyk|arXiv (Cornell University)|1994. 06. 30.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 8인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 슈뢰딩거 방정식을 통한 연속적인 유니타리 진동과 폰 뉴만–뤼더스 붕괴를 통한 확률적 점프 과정을 융합하여 열린 양자 시스템을 조각별 결정성 마르코프 과정으로 모델링하는 통합 프레임워크를 제시한다. 주요 결과는 특정 소산성 동역학이 리우빌 유사 연산자에 의해 지배될 때, 고전적 환경과 결합된 양자 시스템이 초기 조건과 무관하게 최대 혼합 상태로 지수적 감쇠를 보임을 보여준다.

ABSTRACT

The paper consists of two parts. In the first part Schroedinger's equation for a charged quantum particle in a Galilei-Newton curved space-time is derived in a fully geometrical way. Gravitational and electromagnetic fields are coded into space metric and space-time connection. The fundamental geometrical object is a quantum connection in a Hermitian line bundle over the 7-dimensional jet space of 3-velocities. The secondary object is the bundle of Hilbert spaces over absolute time. Time appears as a superselection quantity while Shroedinger equation is interpreted as parallel transport in this bundle. In the second part the problem of measurement in quantum theory is discussed as a part of a more general problem of coupling between quantum and classical systems. The standard framework of quantum theory is extended so as to allow for dynamical central observables within dissipative dynamics. It is shown that within this approach one obtains not only Liouville equation that describes statistical ensembles, but also a piecewise-deterministic random process describing sequences of "events" that can be monitored by a continuous observation of the single, coupled classical system. It also describes "quantum jumps" or "wave packet reductions" that accompany these events. Two example are worked out in some details. The last one deals with the problem oof "how to determine the wave function ?".

연구 동기 및 목표

• 연속적인 유니타리 진동과 양자 시스템에서의 확률적 파동함수 붕괴를 하나의 역학적 프레임워크 안에서 일관되게 통합하는 것.
• 슈뢰딩거 진동과 폰 뉴만–뤼더스 투영을 통합하는 조각별 결정성 확률 과정을 사용하여 열린 양자 시스템을 모델링하는 것.
• 특히 소산적 행동에 중점을 두고, 고전적 환경과 결합된 양자 시스템의 효과적 동역학을 분석하는 것.
• 마르코프성 점프 과정 하에서 복합 양자-고전 시스템의 리우빌 방정식을 유도하고 해를 구하는 것.
• 이러한 시스템의 장기적 행동이 초기 조건과 무관하게 최대 혼합 상태로 수렴함을 보여주는 것.

제안 방법

• 순수 상태가 2차원 구면 $S^2$로 매개변수화된 복합 양자-고전 상태로 시스템을 모델링하고, 밀도 행렬 $\hat{\rho}$ 와 고전적 상태 $\mathbf{n}_{cl}$ 를 사용한다.
• 관측 가능량을 제품 공간 위의 함수로 매핑하기 위해 총 관측 가능 함수 $f_{\mathbf{A}}(\mathbf{n}_q, \mathbf{n}_{cl}) = \mathrm{Tr}(e(\mathbf{n}_q) A(\mathbf{n}_{cl}))$ 를 정의한다.
• 해밀토니안 진동 $X_H f$ 와 전이 확률 $p(\mathbf{n}, \mathbf{n}') = \frac{1 + \mathbf{n} \cdot \mathbf{n}'}{2}$ 를 포함하는 점프 항을 합한 형태로 리우빌 연산자 $\mathcal{L}_{cq}$ 를 구성한다.
• 양자 점프의 시기를 제어하는 비율 $\kappa/2$ 를 가진 포아송 과정을 도입하고, 점프 확률은 양자 상태 간의 중첩으로 주어진다.
• 양자 상태 $\hat{\rho}(t)$ 를 위한 효과적 리우빌 방정식을 유도하여, 지수 감쇠가 $I/2$ 로 수렴하는 해 $\hat{\rho}(t) = e^{-\kappa t/3} \rho(0) + \frac{1 - e^{-\kappa t/3}}{2} I$ 를 도출한다.
• 소산 효과를 분리하기 위해 해밀토니안이 0인 경우($\omega = 0$)에 이 형식을 적용하여, 최대 혼합 상태로의 단순한 감쇠를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속적인 유니타리 진동과 확률적 파동함수 붕괴를 하나의 역학적 프레임워크 안에서 일관되게 통합할 수 있는가?
• RQ2 마르코프성 점프 과정 하에서 고전적 환경과 결합된 양자 시스템의 장기적 행동은 어떠한가?
• RQ3 소산이 존재할 때, 양자 상태의 효과적 동역학은 초기 상태에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 전이 확률 $p(\mathbf{n}, \mathbf{n}') = \frac{1 + \mathbf{n} \cdot \mathbf{n}'}{2}$ 이 시스템의 확률적 진동에서 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 복합 양자-고전 시스템의 리우빌 방정식은 명시적으로 해를 구할 수 있으며, 그 해는 디코herence와 감쇠에 대해 무엇을 드러내는가?

주요 결과

• 해밀토니안이 0인 동역학 하에서 양자 상태의 효과적 리우빌 연산자는 $\mathcal{L}_{cq} \hat{\rho} = \frac{\kappa}{6}(I - 2\hat{\rho})$ 로 주어지며, 순수한 소산 과정을 기술한다.
• 리우빌 방정식의 해는 $\hat{\rho}(t) = e^{-\kappa t/3} \rho(0) + \frac{1 - e^{-\kappa t/3}}{2} I$ 로 주어지며, 최대 혼합 상태 $I/2$ 로 지수적 수렴을 보여준다.
• 양자 상태의 장기적 극한은 초기 상태 $\rho(0)$ 와 무관하게 항상 $I/2$ 로 수렴하며, 이는 소산성 결합으로 인한 보편적 수렴성 때문이다.
• 점프 과정은 비율 $\kappa/2$ 를 가진 포아송 과정으로 제어되며, 각 점프는 전이 확률 $p(\mathbf{n}, \mathbf{n}') = \frac{1 + \mathbf{n} \cdot \mathbf{n}'}{2}$ 에 따라 양자 상태를 재분포시킨다.
• 고전적 시스템의 상태 $\mathbf{n}_{cl}$ 은 양자 상태 $\mathbf{n}_q$ 와 함께 진화하며, 각 양자 점프 후 $\mathbf{n}'_q(\mathbf{n}_q)$ 로 점프한다.
• 복합 시스템의 동역학은 연속적 진동과 확률적 점프가 번갈아 발생하는 조각별 결정성 과정으로 기술되며, 리우빌 연산자는 연속적 및 비연속적 진동을 모두 포괄한다.