[논문 리뷰] Topics in the Value Distribution of Random Analytic Functions

Alon Nishry|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 28.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 학위논문은 랑데마커 테일러 급수와 가우시안 전함수를 중심으로 무작위 해석함수의 값 분포를 조사한다. 랑데마커 푸리에 급수의 로그 적분 가능성, 카한의 문제인 랑데마커 급수의 범위, 부채꼴 내에서의 영점의 등분포, 그리고 새로운 계수 속도 함수를 활용한 가우시안 전함수에 대한 구멍 확률 점점 감소하는 행동에 대한 완전한 해답을 제시한다.

ABSTRACT

This thesis is concerned with the behavior of random analytic functions. In particular, we are interested in the value distribution of Taylor series with independent random coefficients. We begin with a study of the properties of Fourier series with random signs. The main result states that the logarithm of such series is integrable (to any power). Using this result, we answer an old question of J.-P. Kahane, concerning the range of random Taylor series in the unit disk. In addition, we prove a law of large numbers for the number of zeros of entire functions given by Taylor series with random signs. Then we examine some 'rare' events related to the zero set of Gaussian entire functions (given by a Taylor series). In particular, we are interested in the 'hole' event, where the function has no zeros inside a large disk, centered at the origin. We give precise logarithmic asymptotics for the probability of this event, as the radius tends to infinite, depending on the variance of the coefficients of the series. It should be mentioned that our results do not assume any 'regularity' conditions.

연구 동기 및 목표

• 독립 계수를 가진 테일러 급수로 정의된 무작위 해석함수의 값 분포를 이해하는 것.
• 단위 원판 내에서 랑데마커 급수의 범위에 대한 카한의 오랜 문제를 해결하는 것.
• 랑데마커 전함수의 영점이 부채꼴 내에서 등분포하는 것을 특성화하는 것.
• 가우시안 전함수의 구멍 확률에 대한 정확한 로그 점점 감소 행동을 결정하는 것.
• 계수의 크기의 규칙성 또는 성장 조건을 가정하지 않고 결과를 수립하는 것.

제안 방법

• 공백 푸리에 급수의 로그 적분 가능성을 증명하기 위해 F. 나자로프의 방법을 활용한다.
• 테일러 급수의 부분합과 그 이동된 형태의 $ L^2 $-노름을 제어하기 위해 투란형 및 키친형 부등식을 적용한다.
• 작은 이동들이 거의 선형적으로 의존하는 함수를 묘사하기 위해 $ ext{Exp}_{ ext{loc}} $ 성질을 도입한다.
• 스펙트럼 분석과 근사 스펙트럼 렘마를 활용해 $ L_{ ext{RF}}^2 $ 함수의 구조를 분석한다.
• 가우시안 테일러 급수에서 구멍 확률 감소와 계수 감소 속도 간의 관계를 측정하는 새로운 함수를 개발한다.
• 석사점 방법을 적용하여 지수 생성함수의 계수의 점점 감소 행동을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단위 원판 내에서 계수로 랑데마커를 가진 무작위 테일러 급수의 범위는 무엇이며, 거의 확실히 전체 복소평면을 덮는가?
• RQ2 랑데마커 전함수의 영점 수는 반지름 $ r $ 의 원 안에서 어떻게 증가하는가? 그리고 그들의 각도 분포는 부채꼴 내에서 등분포하는가?
• RQ3 원점 중심의 큰 원 안에 영점이 없는 가우시안 전함수의 확률의 정확한 점점 감소 행동은 무엇인가?
• RQ4 계수의 정규 성장 조건을 가정하거나 예외 집합을 배제하지 않고도 구멍 확률 점점 감소 행동을 특성화할 수 있는가?
• RQ5 비연결된 원들의 합집합이나 얇은 직사각형과 같은 비원 영역에 대해서는 구멍 확률이 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 모든 랑데마커 푸리에 급수의 로그는 임의의 거듭제곱에 대해 적분 가능하다. 이는 향후 분석을 가능하게 하는 핵심 기술적 결과이다.
• 랑데마커 테일러 급수의 단위 원판 내 범위는 거의 확실히 전체 복소평면을 덮으며, 이는 카한의 문제를 해결한다.
• 반지름 $ r $ 인 원 안에서 랑데마커 전함수의 영점 수는 $ r^2 $ 의 속도로 증가하며, 부채꼴 내에서 등분포한다.
• 가우시안 전함수의 경우, 구멍 확률은 $ ext{Prob}( ext{no zeros in } rbD) = ext{Exp}(-S(r)(1+o(1))) $ 로 감소하며, 여기서 $ S(r) $ 는 계수 감소 속도의 함수이다.
• 반지름 $ r $ 인 원에 대한 구멍 확률의 점점 감소 행동은 계수 감소와 구멍 확률 감소 간의 상호작용을 캡처하는 새로운 함수 $ S(r) $ 를 통해 완전히 특성화된다.
• 두 개의 서로 다른 원의 합집합에 대한 구멍 확률은 점점 감소 행동에서 상호독립적이지 않으며, 영점 피하기의 강한 공간적 상관관계를 시사한다.