[논문 리뷰] Topological Analysis of Nerves, Reeb Spaces, Mappers, and Multiscale Mappers

Tamal K. Dey, Facundo Mémoli외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 21.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 12인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 도메인 $ X $ 의 경로연결 덮개 $ \mathcal{U} $ 에 대해 신경 복합체 $ N(\mathcal{U}) $ 의 첫 번째 호모로지 군 $ H_1 $ 이 $ H_1(X) $ 보다 더 많은 위상 정보를 포함할 수 없음을 입증함으로써, 뉴런 복합체, 리브 공간, 매퍼스, 다중 척도 매퍼스에 대한 위상적 분석을 수행한다. 또한 이는 피조메트릭 기반 크기 측도를 사용하여 $ X $ 의 $ H_1 $-클래스 중 어떤 것이 뉴런 복합체에 유지되는지 특성화하며, 맵 유도 거리에 의해 다중 척도 매퍼스의 지속 호모로지에 대한 교차 및 수렴 결과를 확장한다.

ABSTRACT

Data analysis often concerns not only the space where data come from, but also various types of maps attached to data. In recent years, several related structures have been used to study maps on data, including Reeb spaces, mappers and multiscale mappers. The construction of these structures also relies on the so-called \emph{nerve} of a cover of the domain. In this paper, we aim to analyze the topological information encoded in these structures in order to provide better understanding of these structures and facilitate their practical usage. More specifically, we show that the one-dimensional homology of the nerve complex $N(\mathcal{U})$ of a path-connected cover $\mathcal{U}$ of a domain $X$ cannot be richer than that of the domain $X$ itself. Intuitively, this result means that no new $H_1$-homology class can be "created" under a natural map from $X$ to the nerve complex $N(\mathcal{U})$. Equipping $X$ with a pseudometric $d$, we further refine this result and characterize the classes of $H_1(X)$ that may survive in the nerve complex using the notion of \emph{size} of the covering elements in $\mathcal{U}$. These fundamental results about nerve complexes then lead to an analysis of the $H_1$-homology of Reeb spaces, mappers and multiscale mappers. The analysis of $H_1$-homology groups unfortunately does not extend to higher dimensions. Nevertheless, by using a map-induced metric, establishing a Gromov-Hausdorff convergence result between mappers and the domain, and interleaving relevant modules, we can still analyze the persistent homology groups of (multiscale) mappers to establish a connection to Reeb spaces.

연구 동기 및 목표

• 뉴런 복합체, 리브 공간, 매퍼스 및 다중 척도 매퍼스에 포함된 위상 정보를 이해하기 위해.
• 경로연결 덮개 $ \mathcal{U} $ 를 고려할 때 도메인 $ X $ 와 그 뉴런 복합체 $ N(\mathcal{U}) $ 의 첫 번째 호모로지 군 간의 관계를 분석하기 위해.
• 도메인 $ X $ 의 $ H_1 $-클래스 중 어떤 것이 뉴런 복합체 $ N(\mathcal{U}) $ 에 유지되는지, 이를 $ X $ 상의 피조메트릭을 사용하여 특성화하기 위해.
• 맵 유도 거리와 교차 이론을 통해 매퍼스 및 다중 척도 매퍼스의 지속 호모로지에 대한 분석을 확장하기 위해.
• 매퍼 복합체와 도메인 $ (X, d_f) $ 의 내재 체히 필터링 간의 그로모프-하우스도르프 수렴성과 교차를 확립하기 위해.

제안 방법

• 도메인 $ X $ 의 경로연결 개방 덮개 $ \mathcal{U} $ 로부터 뉴런 복합체 $ N(\mathcal{U}) $ 를 구성하기 위해.
• 두 점을 연결하는 모든 경로 $ \rho $ 에 대해 $ f(\rho) $ 의 지름의 하한으로 $ X $ 상에 피조메트릭 $ d_f $ 를 정의하기 위해.
• 자연스러운 사상 $ X \to N(\mathcal{U}) $ 를 수립하여, 경로연결 덮개에 대해 $ H_1(X) \to H_1(N(\mathcal{U})) $ 가 전성임을 보여주기 위해.
• 덮개 원소의 크기 측도를 도입하여 $ X $ 의 $ H_1 $-클래스 중 어떤 것이 $ N(\mathcal{U}) $ 에 유지되는지 특성화하기 위해.
• 덮개 원소의 지름에 대한 균일한 제어를 확보하기 위해, $ (c,s) $-좋음으로서의 커버 타워 $ \mathfrak{U} $ 를 정의하기 위해.
• 내재 체히 필터링과 매퍼스 구성으로부터 심플로이드 복합체의 타워를 구성하여, 지속 호모로지에서 그로모프-하우스도르프 수렴성과 교차를 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경로연결 덮개 $ \mathcal{U} $ 에 대해 뉴런 복합체 $ N(\mathcal{U}) $ 의 첫 번째 호모로지 군 $ H_1(N(\mathcal{U})) $ 는 $ H_1(X) $ 보다 더 많은 위상 정보를 포함할 수 있는가?
• RQ2 도메인 $ X $ 의 $ H_1 $-클래스 중 어떤 것이 뉴런 복합체 $ N(\mathcal{U}) $ 에 유지되는가? 그리고 이는 덮개 원소의 크기를 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 맵 유도 거리 하에서 다중 척도 매퍼스의 지속 호모로지가 리브 공간 또는 내재 체히 복합체의 지속 호모로지로 수렴하는가?
• RQ4 교차 이론을 사용하여 매퍼스의 지속 호모로지와 $ (X, d_f) $ 의 내재 체히 필터링 간의 관계를 설정할 수 있는가?
• RQ5 추가적인 위상 조건 하에서, $ H_1 $-전성 성질이 고차원 호모로지 군으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 도메인 $ X $ 의 임의의 경로연결 개방 덮개 $ \mathcal{U} $ 에 대해 자연스러운 사상 $ H_1(X) \to H_1(N(\mathcal{U})) $ 는 전성임을 의미하며, 이는 뉴런 복합체에서 새로운 $ H_1 $-클래스가 생성되지 않음을 의미한다.
• $ X $ 의 $ H_1 $-클래스 중 뉴런 복합체 $ N(\mathcal{U}) $ 에 유지되는 것은 피조메트릭 $ d_f $ 를 통해 측정된 덮개 원소의 크기로 특성화된다.
• 다중 척도 매퍼스 $ \mathrm{MM}(\mathfrak{U}, f) $ 와 도메인 $ (X, d_f) $ 의 내재 체히 필터링 $ \mathfrak{C}_s $ 간의 지속 호모로지는 $ 2c $-multiplicatively interleaved 되어 있으며, 이는 안정성과 수렴성을 의미한다.
• 다중 척도 매퍼스와 내재 체히 필터링의 로그 스케일링된 영구 다이어그램은 $ d_B(\mathrm{Dg}_{\log}\mathrm{MM}, \mathrm{Dg}_{\log}\mathfrak{C}_s) \leq 2c $ 를 만족하며, 이는 유사성에 대한 정량적 경계를 설정한다.
• 맵 유도 거리 $ d_f $ 하에서 매퍼 복합체와 도메인 $ X $ 간의 그로모프-하우스도르프 수렴성이 확립된다.
• 논문에서 제시된 반례를 통해 $ H_1 $ 의 결과는 고차원 호모로지 차원으로 확장되지 않음을 보여준다.