[논문 리뷰] Topological Connectedness and Behavioral Assumptions on Preferences: A Two-Way Relationship

M. Ali Khan, Metin Uyanık|RePEc: Research Papers in Economics|2018. 10. 03.

Economic theories and models인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이元적 선택 모델에서 위상적 연결성과 선호의 일관성/완전성 간의 상하관계를 수립한다. 연속성과 연결성을 가정할 경우, 순서성과 완전성이 논리적으로 유도되며, k-연결성의 새로운 특성화와 그 선호 표현에 대한 함의를 통해 미세경제학 이론에서 오랫동안 남아 있던 질문들을 해결한다.

ABSTRACT

This paper offers a comprehensive treatment of the question as to whether a binary relation can be consistent (transitive) without being decisive (complete), or decisive without being consistent, or simultaneously inconsistent or indecisive, in the presence of a continuity hypothesis that is, in principle, non-testable. It identifies topological connectedness of the (choice) set over which the continuous binary relation is defined as being crucial to this question. Referring to the two-way relationship as the Eilenberg-Sonnenschein (ES) research program, it presents four synthetic, and complete, characterizations of connectedness, and its natural extensions; and two consequences that only stem from it. The six theorems are novel to both the economic and the mathematical literature: they generalize pioneering results of Eilenberg (1941), Sonnenschein (1965), Schmeidler (1971) and Sen (1969), and are relevant to several applied contexts, as well as to ongoing theoretical work.

연구 동기 및 목표

• 연속성 하에서 선호가 완전하지 않아도 일관성 있을 수 있는지, 또는 일관하지 않아도 완전할 수 있는지에 대한 기초적 질문을 해결하기 위해.
• 선호 관계에서 위상적 연결성과 행동 공리(순서성, 완전성) 간의 논리적 상호작용을 조사하기 위해.
• 에일렌버그, 손넨슈타인, 셰이드러, 센의 고전적 결과들을 위상적 도구를 사용해 일반화하고 통합하기 위해.
• 연속성과 연결성이 함께 작용할 때 완전성과 순서성이 어떻게 유도되는지를 이해하기 위한 종합적 프레임워크를 제공하기 위해.
• 경제 모델에서 선호 표현에 대한 함의를 포함해 k-연결성의 새로운 특성화를 수립하기 위해.

제안 방법

• 선택 집합의 위상적 성질로써 k-연결성을 도입하고 분석하며, 연결성과 2-연결성을 일반화한다.
• 복잡한 선호 관계를 몫 공간에서 더 단순하고 반대칭적인 형태로 줄이기 위해 몫 위상 기법을 적용한다.
• 연속적 쌍대표현과 단면 폐쇄 성질을 사용해 선호 관계의 위상적 구조를 분석한다.
• 완전성과 순서성 사이를 연결하기 위해 반순서성과 의사순서성을 중간 조건으로 활용한다.
• 에일렌버그-손넨슈타인 연구 프로그램을 적용해 연속성, 연결성, 선호 공리 간의 상호의존성을 규명하는 여섯 가지 새로운 정리를 도출한다.
• 위상적 분리 공리와 열린/닫힌 단면 성질을 사용해 몰입 공간에서 유도된 관계의 반대칭성과 연속성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선택 집합이 위상적으로 연결되어 있을 때, 연속적인 이원 관계가 완전하지 않아도 순서성을 가지거나, 반대로 완전하지 않아도 순서성을 가지는가?
• RQ2 어떤 위상적 조건이 완전성과 연속성이 함께 순서성을 유도하고, 그 반대도 가능하게 하는가?
• RQ3 k-연결성(여기서 k ≥ 1)은 연결성이 선호 일관성과 결정성에 미치는 역할을 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 동치 관계에 의해 유도된 동치 관계 하에서 몰입 공간 구성이 연속성과 반대칭성을 어떻게 유지하는가?
• RQ5 완전성과 순서성이 논리적으로 유도되는 데 필요한 최소한의 위상적 및 행동적 가정은 무엇인가?

주요 결과

• 위상적 연결성과 연속성을 가정할 경우, 완전성은 순서성을 함의하며, 이는 에일렌버그(1941)와 손넨슈타인(1965)의 결과를 일반화한다.
• 순서성과 비자명성은 완전성을 함의하며, 셰이드러(1971)의 결과를 위상적 연결 공간으로 확장한다.
• 논문은 k-연결성과 그 확장에 대한 네 가지 새로운 특성화를 제공하며, 이는 경제학과 위상수학 모두에서 새로운 것이다.
• 연속적이며 완전하고 반순서성인 관계는 몰입 공간에서 반대칭적이며 연속적인 관계를 유도하며, 핵심 선호 성질을 유지한다.
• 일부 구성에서 강한 분리성의 실패를 증명함으로써, 연결성이 선호 표현을 위해 필수적임을 보여준다.
• 결과적으로 연결된 위상 공간에서 연속성과 연결성이 함께 작용할 경우, 결정불능이나 일관성 없는 선호의 가능성은 제거된다.