[논문 리뷰] Topological crystalline superconductors with linearly and projectively represented $C_{n}$ symmetry

Chen Fang, B. Andrei Bernevig외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 08.

Topological Materials and Phenomena인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 $C_n$ 회전 대칭을 가진 위상적 결정 초전도체를 분류하며, 선형 및 프로젝티브 표현 간의 구분을 시도한다. 1차원 및 3차원에서 새로운 위상적 불변량을 규명하고, 2차원에서는 치르넘 수와 회전 고유값 간의 관계를 설정하며, 3차원 초전도체에서 마요라나 모드의 효과적 표면 이론을 수립한다. 본 연구는 프로젝티브 표현이 시간역전 대칭과의 반대칭 관계를 유도할 수 있으며, 이는 전통적인 TRS 기반 프레임워크를 초월해 위상적 초전도체의 분류를 풍부하게 한다.

ABSTRACT

We study superconductors with $n$-fold rotational invariance both in the presence and in the absence of spin-orbit interactions. More specifically, we classify the non-interacting Hamiltonians by defining a series of $Z$-numbers for the Bogoliubov-de Gennes (BdG) symmetry classes of the Altland-Zimbauer classification of random matrices in $1$D, $2$D, and $3$D in the presence of discrete rotational invariance. Our analysis emphasizes the important role played by the angular momentum of the Cooper pairs in the system: for pairings of nonzero angular momentum, the rotation symmetry may be represented projectively, and a projective representation of rotation symmetry may have anomalous properties, including the anti-commutation with the time-reversal symmetry. In 1D and 3D, we show how an $n$-fold axis enhances the topological classification and give additional topological numbers; in 2D, we establish a relation between the Chern number (in class D and CI) and the eigenvalues of rotation symmetry at high-symmetry points. For each nontrivial class in 3D, we write down a minimal effective theory for the surface Majorana states.

연구 동기 및 목표

• 비상호작용 초전도 해밀토니안의 $n$-중 회전 대칭을 Altland-Zimbauer BdG 대칭 클래스를 사용해 분류한다.
• 선형 및 프로젝티브 표현이 1차원, 2차원, 3차원 시스템의 위상적 불변량에 미치는 영향을 조사한다.
• 1차원 및 3차원에서 $C_n$ 대칭의 강화로 인해 나타나는 새로운 위상적 불변량을 규명하고, 2차원에서 고대칭점에서 치르넘 수와 회전 고유값 간의 관계를 설정한다.
• 비자명한 $Z$-수를 가진 3차원 위상적 결정 초전도체에서 표면 마요라나 상태를 기술하는 최소 효과 이론을 수립한다.

제안 방법

• 이산적 회전 대칭을 가진 BdG 해밀토니안의 $Z$-수 불변량을 정의하기 위해 랜덤 매트릭스 엔세임의 Altland-Zimbauer 분류를 사용한다.
• 코플러 쌍의 각운동량이 $C_n$ 대칭의 선형 표현 또는 프로젝티브 표현으로 나타나는지 결정하는 데 기여한다.
• 군 표현 이론을 적용하여 프로젝티브 표현이 시간역전 대칭과 반대칭 관계를 가질 수 있으며, 이로 인해 이례적인 위상적 성질이 나타남을 보여준다.
• 2차원 시스템에서 $C_n$ 대칭 하에 치르넘 수와 고대칭점에서의 회전 연산자 고유값 간의 관계를 유도한다.
• 체계적 경계 대응과 대칭 보존 원리를 분석하여 3차원 위상적 결정 초전도체의 효과적 표면 이론을 수립한다.
• 특히 $C_\infty$ 극한에서, 운동량 공간에서 윌슨 루프와 베리 곡률 기법을 사용해 위상적 불변량을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $C_n$ 회전 대칭이 프로젝티브 표현으로 나타날 경우, 초전도체의 위상적 분류에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 1차원 및 3차원 초전도체에서 $C_n$ 대칭이 존재할 경우 어떤 새로운 위상적 불변량이 나타나며, 이는 코플러 쌍의 각운동량과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 2차원에서 고대칭점에서의 회전 연산자 고유값과 치르넘 수는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 시간역전 대칭이 유지되는 조건에서 $C_n$의 프로젝티브 표현이 비자명한 위상적 불변량을 유도할 수 있는가?
• RQ5 비자명한 $Z$-수를 가진 3차원 위상적 결정 초전도체에서 표면 마요라나 상태의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 1차원 및 3차원에서 $n$-중 회전 대칭은 위상적 분류를 강화하며, 대칭이 없는 경우에 비해 추가적인 $Z$-수 불변량을 도입한다.
• 2차원에서 D 및 CI 초전도체의 치르넘 수는 고대칭 운동량 점에서의 회전 연산자 고유값과 직접적으로 관련되어 있다.
• $C_n$ 대칭의 프로젝티브 표현은 시간역전 대칭과의 이례적인 반대칭 관계를 유도할 수 있으며, 이는 비자명한 위상적 행동을 나타낸다.
• 3차원에서 각 비자명한 위상적 클래스에 대해 표면 마요라나 상태를 기술하는 최소 효과 이론을 수립하였으며, 이는 $C_n$ 대칭에 의해 보존된다.
• 분석 결과, $C_\infty$ 극한에서 윌슨 루프는 $k=0$과 $k=\infty$에서의 각운동량 양자수의 차이와 동일한 치르넘 수를 제공함을 확인하였으며, 이는 운동량 공간 기하학을 통한 위상적 불변량의 확인을 가능하게 한다.
• 논문은 비자명한 프로젝티브 표현을 가진 $C_n$ 대칭의 존재가 기존의 TRS 기반 분류에서 포착되지 않는 독특한 위상적 상을 유도함을 수립한다.