[논문 리뷰] Topological Data Analysis of Financial Time Series: Landscapes of Crashes

Marian Gidea, Yuri A. Katz|RePEc: Research Papers in Economics|2017. 03. 13.

Topological and Geometric Data Analysis인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 미국 주식 지수의 다변량 시계열에서 금융 붕괴의 조기 경고 신호를 탐지하기 위해 지속성 랜드스케이프를 사용하는 위상적 데이터 분석(TDA) 프레임워크를 제안한다. 고정된 윈도우를 적용하여 4차원 점군을 추출하고 1차 지속성 랜드스케이프의 L^p-노름을 계산함으로써, 2000년 도트컴 버블 붕괴와 2008년 리먼 파산 이전 250 거래일 동안 저주파 스펙트럼 밀도와 이 노름들의 분산이 유의미하게 증가하는 강력한 경향을 발견하여 체계적 불안정성을 시사한다.

ABSTRACT

We explore the evolution of daily returns of four major US stock market indices during the technology crash of 2000, and the financial crisis of 2007-2009. Our methodology is based on topological data analysis (TDA). We use persistence homology to detect and quantify topological patterns that appear in multidimensional time series. Using a sliding window, we extract time-dependent point cloud data sets, to which we associate a topological space. We detect transient loops that appear in this space, and we measure their persistence. This is encoded in real-valued functions referred to as a 'persistence landscapes'. We quantify the temporal changes in persistence landscapes via their $L^p$-norms. We test this procedure on multidimensional time series generated by various non-linear and non-equilibrium models. We find that, in the vicinity of financial meltdowns, the $L^p$-norms exhibit strong growth prior to the primary peak, which ascends during a crash. Remarkably, the average spectral density at low frequencies of the time series of $L^p$-norms of the persistence landscapes demonstrates a strong rising trend for 250 trading days prior to either dotcom crash on 03/10/2000, or to the Lehman bankruptcy on 09/15/2008. Our study suggests that TDA provides a new type of econometric analysis, which goes beyond the standard statistical measures. The method can be used to detect early warning signals of imminent market crashes. We believe that this approach can be used beyond the analysis of financial time series presented here.

연구 동기 및 목표

• 다변량 금융 시계열에 위상적 데이터 분석(TDA)을 적용하여 체계적 리스크와 금융 붕괴의 조기 경고 신호를 탐지하는 것.
• 특히 지속적인 고리 구조를 포함한 시장 수익률 역학의 위상적 특징이 주요 시장 붕괴 이전에 감지 가능한 방식으로 변화하는지 조사하는 것.
• 기존의 분산과 자기상관과 같은 통계 지표를 보완하는 새로운 경제계량 방법론을 TDA 기반으로 개발하는 것.
• 2000년 기술주 버블 붕괴와 2008년 글로벌 금융위기라는 두 가지 주요 금융 위기 상황에서 TDA 기반 신호의 강건성과 예측 능력을 시험하는 것.

제안 방법

• 50일의 고정된 윈도우를 사용하여 S&P 500, DJIA, NASDAQ, Russell 2000의 일일 로그 수익률에 적용하여 매 시점에서 4차원 점군을 형성한다.
• 각 점군에 대해 지속성 호몰로지( persistent homology )를 계산하여 다양한 척도에서 위상적 특징, 특히 1차원 고리를 탐지하고 정량화한다.
• 지속성 다이어그램의 기능적 요약인 지속성 랜드스케이프를 구성하고, 이를 바탕으로 L^1 및 L^2-노름을 계산하여 위상적 안정성의 시간에 따라 변화하는 스칼라 지표로 사용한다.
• L^p-노름의 시계열을 통계적 측도를 사용해 분석한다: 저주파수에서의 평균 스펙트럼 밀도, 분산, 및 1차 자기상관 함수(ACF).
• 500일의 윈도우를 사용하여 이러한 통계치를 계산하고, L^p-노름 시계열의 단조적 추세를 탐지하기 위해 맨-켄달 검정을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주요 미국 주식 지수의 수익률 역학에서 위상적 특징이 금융 붕괴 이전에 감지 가능한 변화를 보이는가?
• RQ2 지속성 랜드스케이프의 L^p-노름이 체계적 시장 불안정성의 조기 경고 신호로 기능할 수 있는가?
• RQ3 2000년과 2008년 시장 붕괴 이전 250일 동안 L^p-노름 시계열의 저주파수 스펙트럼 밀도에 통계적으로 유의미한 추세가 존재하는가?
• RQ4 TDA 기반 신호는 변동성(VIX)과 자기상관과 같은 전통적 지표에 비해 붕괴 예측 능력에서 뛰어나게 되는가?
• RQ5 점군 크기의 변화, 예를 들어 50개에서 100개로 두 배로 증가할 경우 TDA 방법이 안정적인가?

주요 결과

• 지속성 랜드스케이프의 L^p-노름 시계열은 2000년 도트컴 붕괴와 2008년 리먼 파산 이전 모두에서 강력한 증가 추세를 보였다.
• L^p-노름 시계열의 저주파수에서 평균 스펙트럼 밀도는 두 붕괴 이전 250 거래일 동안 통계적으로 유의미하게 증가하는 추세를 보였으며, 텐던-타우 상관계수는 각각 0.89와 1.00이었다.
• L^p-노름 시계열의 분산 역시 붕괴 이전 기간에 유의미하게 증가하여 위상적 구조의 불안정성 증가를 시사했다.
• L^p-노름의 1차 자기상관 함수에는 붕괴 이전에 유의미한 추세가 없었으며, 이는 신호가 선형 상관관계에 의해 유도되지 않았음을 시사한다.
• 2000년 붕괴 상황에서는 VIX가 변동성이 감소하는 반면 L^p-노름의 스펙트럼 밀도는 여전히 강하게 증가함을 고려할 때, TDA 기반 조기 경고 신호가 VIX를 능가하는 성능을 보였다.
• 점군 크기를 두 배로 늘여도 방법이 유지되어, 미세한 데이터 변형에 대해 위상 신호의 안정성이 입증되었다.