[논문 리뷰] Topological dynamics of generic piecewise continuous contractive maps in n dimensions

Eleonora Catsigeras, Rubén Budelli|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 13.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 연속성 조각의 이미지가 서로 분리된 (분리 성질을 만족하는) 컴acts한 $n$-차원 볼에서 정의된 $C^0$-일반적인 조각적 연속이고 국소적으로 수축성인 사상이 최대 유한 개의 지속적인 주기적 안착점만 가지며, 구조적 안정성 있는 혼돈은 존재하지 않음을 입증한다. 동역학은 위상학적으로 초구형에 가까운 성질을 띠며, 불연속성 선은 무한한 확장을 갖는 위상학적 안장점으로 작용하여, 혼란스러운 행동이 작은 변화에 의해 분기되고 불안정함을 보장한다.

ABSTRACT

We study the topological dynamics by iterations of a piecewise continuous, non linear and locally contractive map in a real finite dimensional compact ball. We consider those maps satisfying the "separation property": different continuity pieces have disjoint images. The continuity pieces act as stable topological manifolds while the points in the discontinuity lines, separating different continuity pieces, act as topological saddles with an infinite expanding rate. We prove that C0 generically such systems exhibit one and at most a finite number of persistent periodic sinks attracting all the orbits. In other words, the chaotic behaviors that this class of mappings may exhibit, are structurally unstable and bifurcating.

연구 동기 및 목표

• 조각적 연속이고 국소적으로 수축성인 사상이 $n$-차원 컴팩트 공간에서 주로 나타나는 주기적 동역학과 혼란스러운 동역학의 비율을 규명하는 것.
• 연속성 조각의 이미지가 서로 분리된 조건(분리 성질)을 만족할 때, 이러한 사상의 위상학적 동역학을 분석하는 것.
• 혼란스러운 안착점이 작은 $C^0$ 변화에 대해 구조적으로 안정적인지 여부를 조사하는 것.
• 기존의 애프린 조각적 사상 이론을 비아핀, 비미분 가능하지만 국소적으로 수축성인 고차원 시스템으로 확장하는 것.
• 순간적인 시냅스 결합을 갖는 신경망 모델의 이론적 기초를 제공하는 것. 이 경우 동역학은 Poincaré 복귀 사상으로 모델링된다.

제안 방법

• 연속성 조각의 이미지가 서로 분리된 조건(분리 성질)을 만족하는 컴팩트한 $n$-차원 볼 위에 정의된 조각적 연속이고 국소적으로 수축성인 사상의 클래스를 정의한다.
• 불연속성 선을 안정 집합에서 수직인 가상의 불안정 다발을 사용하여, 무한한 확장률을 갖는 위상학적 안장점으로 모델링한다.
• 주어진 사상 $F$의 $\epsilon$-변형 $G$를 구성하기 위해 연속성 조각의 분할을 정밀화하고, $C_i \subset U_i$와 같은 컴팩트한 부분 조각으로 사상을 제한한다. 이때 $\text{dist}({\cal P}, \widehat{{\cal P}}) < \epsilon_1$을 확보한다.
• 분할 간 하우스도르프 거리를 사용하여 변형 크기를 제어하고, 새로운 분리 선 $S_{\widehat{{\cal P}}}$ 가 $k$-세대 확장 원소를 피하도록 보장한다.
• 콤팩트한 메트릭 공간에서의 보조정리 3.2를 적용하여, $G$가 균일하게 수축적이며 유한한 반복 후 불연속성 선을 피하는 한, 최종적으로 주기적 궤도를 갖는다. 이를 증명한다.
• 변형 $G$가 $F$의 $C^0$-변형이면서, 분리 성질이 불연속 집합으로의 재귀를 방지하므로, 궤도는 결국 주기적 안착점으로 수렴하게 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조각적 연속이고 국소적으로 수축성인 사상이 $n$-차원에서 혼란스러운 동역학과 주기적 동역학을 얼마나 자주 보이는가?
• RQ2 이러한 시스템에서 작은 $C^0$ 변화에 대해 혼란스러운 안착점이 유지되는가, 아니면 일반적으로 불안정한가?
• RQ3 분리 성질(연속성 조각의 이미지가 서로 분리됨)이 혼란스러운 행동의 부재를 어느 정도 보장하는가?
• RQ4 순간적인 시냅스 결합을 갖는 대규모 신경망의 동역학은 이러한 조각적 연속 사상으로 모델링될 수 있는가? 그리고 어떤 점근적 행동이 나타나는가?
• RQ5 이러한 사상의 클래스에서 칸토어 집합 안착점이 존재할 수 있는가? 어떤 조건에서 존재하는가?

주요 결과

• 분리 성질을 만족하는 $C^0$ 위상에서의 일반적인 조각적 연속이고 국소적으로 수축성인 사상은 최대 유한 개의 지속적인 주기적 안착점만 갖는다.
• 혼란스러운 동역학이 존재할 경우, 이는 구조적으로 불안정하며 작은 변화에 의해 분기된다.
• 불연속성 선은 무한한 확장률을 갖는 위상학적 안장점으로 작용하여 재귀를 방지하고 궤도가 결국 이를 피하도록 보장한다.
• 사상이 최종적으로 주기적이지 않다면, 컴팩트한 부분에서의 균일한 수축성 덕분에 이러한 시스템의 극한 집합은 주기적 안착점들로 구성된다.
• $F$의 $\epsilon$-변형 $G$는 불연속 집합을 유한한 반복 후 피하는 한, 지속적인 주기적 궤도를 갖는 최종 주기적 사상으로 구성될 수 있다.
• 일부 $n \geq 2$ 차원에서의 사상은 보조정리 3.2를 만족하지 않으며, 그 궤도 집합에 칸토어 집합 안착점이 포함된 경우가 존재한다. 이는 주기적 행동이 항상 성립하지는 않지만, 일반적으로는 성립함을 보여준다.