[논문 리뷰] Topological entropy and complexity for discrete dynamical systems

N. Abarenkova, J C Anglès d'Auriac외 3명|arXiv (Cornell University)|1998. 06. 24.

Graph theory and applications인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 두 매개변수를 가진 두차원 유리离산 동역계의 가족을 조사하여 위상적 엔트로피와 아르놀트 복잡도 사이의 관계를 탐구한다. 고정점과 반복도수의 생성함수를 사용하여 복잡도 성장과 지수적 위상적 엔트로피에 대해 유리수 표현을 추측하며, 이는 모든 매개변수 값에서 동일한 대수적 값을 갖는 것으로 나타나며, 이는 또한 통합 가능한 경우를 식별하는 반수치적 방법에 의해 지지된다.

ABSTRACT

To test a possible relation between the topological entropy and the Arnold complexity, and to provide a non trivial example of a rational dynamical zeta function, we introduce a two-parameter family of two-dimensional discrete rational mappings. The generating functions of the number of fixed points, and of the degree of the successive iterates, are both considered. We conjecture rational expressions with integer coefficients for these two generating functions. and a rational expression for the dynamical zeta function. We then deduce algebraic values for the complexity growth and for the exponential of the topological entropy. Moreover, these two numbers happen to be equal for all the values of the parameters. These conjectures are supported by a semi-numerical method we explain. This method also localizes the integrable cases.

연구 동기 및 목표

• 이산 동역계에서 위상적 엔트로피와 아르놀트 복잡도 사이의 추측된 관계를 검증하기 위해.
• 비자명한 유리 동역계 제타 함수의 예를 제공하기 위해.
• 두 매개변수를 가진 2차원 유리 매핑의 고정점과 반복도수의 생성함수를 조사하기 위해.
• 모든 매개변수 값에서 복잡도 성장률과 지수적 위상적 엔트로피가 동일한지 여부를 판단하기 위해.
• 반수치적 방법을 사용하여 통합 가능한 경우를 식별하기 위해.

제안 방법

• 두 매개변수를 가진 두차원 이산 유리 매핑의 가족을 도입하기 위해.
• 고정점의 수와 연속된 반복의 차수에 대한 생성함수를 정의하기 위해.
• 이 생성함수에 대해 정수 계수를 가진 유리수 표현을 추측하기 위해.
• 생성함수로부터 동역계 제타 함수를 유리수 표현으로 유도하기 위해.
• 반수치적 방법을 사용하여 추측을 검증하고 통합 가능한 매개변수 영역을 특정하기 위해.
• 추측된 표현에서 복잡도 성장률과 지수적 위상적 엔트로피에 대한 대수적 값을 계산하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이 이산 동역계의 클래스에서 위상적 엔트로피와 아르놀트 복잡도 사이에 일관된 관계가 존재하는가?
• RQ2 고정점과 반복도수의 생성함수는 정수 계수를 가진 유리함수로 표현될 수 있는가?
• RQ3 두 매개변수 가족의 모든 매개변수 값에서 복잡도 성장률과 지수적 위상적 엔트로피가 일치하는가?
• RQ4 시스템이 통합 가능한 조건은 무엇이며, 이러한 조건들은 어떻게 국소화할 수 있는가?
• RQ5 이 설정에서 동역계 제타 함수는 유리함수로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 고정점의 수와 반복의 차수에 대한 생성함수는 정수 계수를 가진 유리함수로 추측된다.
• 복잡도 성장률과 위상적 엔트로피의 지수는 대수적 수이며, 가족의 모든 매개변수 값에서 동일하다.
• 동역계 제타 함수는 유리함수로 추측되며, 이는 이 맥락에서 비자명한 예를 제공한다.
• 반수치적 방법은 추측을 지지하며 통합 가능한 경우에 해당하는 영역을 성공적으로 국소화한다.
• 복잡도 성장률과 지수적 위상적 엔트로피의 동일성은 전체 두 매개변수 공간에서 성립하며, 깊이 있는 구조적 연결을 시사한다.