[논문 리뷰] Topological Entropy Bounds for Switched Linear Systems with Lie Structure

James Schmidt|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 09.

Control and Stability of Dynamical Systems인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 기저가 아벨 리 대수임을 가정하고, 스위치 선형 시스템의 위상적 엔트로피에 대한 상한을 도출한다. 이는 기저의 아벨성과 고유값 기반 분석을 기반으로 하며, '활성화 시간의 상한 평균'을 도입하고 리아푸노프 유사 함수 및 다항식 경계를 통한 성장률 분석을 통해, 엔트로피가 시스템의 삼각화된 구조에서 고유값의 양수 부분의 합으로 제한됨을 증명한다.

ABSTRACT

In this thesis, we provide an initial investigation into bounds for topological entropy of switched linear systems. Entropy measures, roughly, the information needed to describe the behavior of a system with finite precision on finite time horizons, in the limit. After working out entropy computations in detail for the scalar switched case, we review the linear time-invariant nonscalar case, and extend to the nonscalar switched case. We assume some commutation relations among the matrices of the switched system, namely solvability, define an upper average time of activation quantity and use it to provide an upper bound on the entropy of the switched system in terms of the eigenvalues of each subsystem.

연구 동기 및 목표

• 스위치 선형 시스템에서 위상적 엔트로피를 연구하며, 특히 부분시스템 행렬이 아벨 리 대수를 생성할 경우를 다룬다.
• 스칼라 및 시간 불변 선형 시스템에서의 엔트로피 상한을 더 복잡한 스위치 비스칼라 케이스로 확장한다.
• 동시 삼각화 가능성과 고유값 분해와 같은 구조적 성질을 이용해 계산 가능한 엔트로피 상한을 유도한다.
• 새로운 '활성화 시간의 상한 평균' 지표를 통해 스위칭 주파수와 활성화 시간 분포가 엔트로피 성장에 미치는 역할을 체계화한다.
• 동역학계 이론, 제어 이론, 리 대수 이론의 개념을 통합하여 스위치 시스템의 복잡성 분석을 수행한다.

제안 방법

• 시스템 궤적을 시간에 따라 근사하기 위해 필요한 커버링 집합의 지수 성장률로 위상적 엔트로피를 정의한다.
• Entrop의 정의를 $(T,\varepsilon)$-스패닝 집합을 통해 적용하고, 상태 공간에서 격자 기반 커버링 추론을 구성한다.
• 해의 분리 정도를 제어하고 성장률을 조절하기 위해 시간에 따라 변하는 리아푸노프 유사 함수 $\eta_{n-i}(t)$ 를 도입한다.
• 부분시스템 구성 요소에 대해 귀납법을 적용하여 상태 전이 행렬의 노름을 제한하며, 다항식 및 지수항을 통합한다.
• 고유값 $\mathfrak{h}_i^+$ 의 양수 부분과 변형 항 $q(\delta)\delta$ 에 의존하는 지수항을 포함한 $(T,\varepsilon)$-스패닝 점의 수에 대한 경계를 도출한다.
• 시간 $T$ 에서의 로그 성장률을 취하고, 상한을 취한 후 $\delta > 0$ 에 대해 하한을 취함으로써 변형 항을 제거하여 깔끔한 고유값 기반 상한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스위치 선형 시스템의 위상적 엔트로피는 부분시스템 행렬의 리 대수 구조에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ2 시스템 행렬이 동시에 삼각화 가능하고 리 대수가 아벨일 경우 엔트로피에 대한 상한을 도출할 수 있는가?
• RQ3 각 부분시스템의 평균 활성화 시간은 엔트로피 성장에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 해의 노름에 포함된 다항식 및 지수항은 어떻게 제어하여 유한한 엔트로피 상한을 얻을 수 있는가?
• RQ5 스위칭 주파수와 개별 부분시스템의 고유값만을 사용하여 스위치 시스템의 엔트로피를 어느 정도까지 제한할 수 있는가?

주요 결과

• 아벨 리 대수를 가지는 스위치 선형 시스템의 위상적 엔트로피는 부분시스템 행렬의 고유값의 양수 부분의 합으로 상한이 된다.
• 상한은 스위칭 주파수 영향을 반영하는 새로운 '활성화 시간의 상한 평균' 지표를 통해 도출된다.
• 리 대수가 아벨이면서 각 부분시스템이 안정적이라면, 스위칭 신호에 관계없이 상한이 유지된다.
• 엔트로피 상한은 $ h(A_{\sigma}) \leq \sum_{i=1}^{n} (\mathfrak{h}_1^+ + \cdots + \mathfrak{h}_i^+) $ 로 표현되며, 여기서 $ \mathfrak{h}_i^+ $ 는 고유값의 양수 부분이다.
• 변형 항은 $ \delta > 0 $ 에 대해 하한을 취함으로써 엄밀하게 제거되어, 상한이 날카롭고 고유값에 의존함을 보장한다.
• 이 방법은 스칼라 및 시간 불변 시스템에서의 엔트로피 상한을 리 이론적 구조를 가진 스위치 비스칼라 케이스로 일반화한다.