[논문 리뷰] Topological entropy for non-uniformly continuous maps

Boris Hasselblatt, Zbigniew Nitecki외 1명|ArXiv.org|2005. 11. 20.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 11인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 전적으로 유계인 거리공간 위의 비균일 연속 함수에 대한 위상적 엔트로피를 조사하며, Bowen과 Friedland의 엔트로피 정의의 세 가지 확장 방식을 비교한다. 논문은 Friedland-Bowen-Dinaburg 엔트로피(그래프의 컴actification 기반)가 Bowen의 컴팩트 집합 기반 엔트로피(모든 컴팩트 부분집합에 대한 상한)를 지배하며, 둘 다 Bowen-Dinaburg 거리 기반 정의의 직접적인 확장과 일치함을 증명한다. 주요 결과는 균일 연속성이 성립하지 않을 경우 이러한 불변량이 다를 수 있으며, 동일한 균일 등가 클래스 내에서 거리의 선택에 따라 그 값이 달라질 수 있다는 것이다.

ABSTRACT

The topological entropy of a continuous self-map of a compact metric space can be defined in several distinct ways; when the space is not assumed compact, these definitions can lead to distinct invariants. The original, purely topological invariant defined by Adler et. al. is infinite if the system has at least one orbit with empty limit set. The Bowen-Dinaburg formulation (based on separated sets) is equivalent to the invariant defined by Friedland (based on a compactification of the inverse limit), and dominates another invariant proposed by Bowen (maximizing dispersion rates for orbits emanating from compact subsets). Examples show that these two invariants are both heavily dependent on the uniform structure induced by the metric used to calculate them.

연구 동기 및 목표

• 비균일 연속성을 가정하지 않은 비콤팩트이지만 전적으로 유계인 거리공간 위의 연속 자기사상에 대한 위상적 엔트로피를 분석한다.
• Bowen의 컴팩트 집합 기반 엔트로피, Friedland의 그래프 컴 pactification 기반 엔트로피, Bowen-Dinaburg 정의의 직접적인 거리 기반 확장을 포함한 세 가지 엔트로피 정의의 확장을 비교·대조한다.
• 이 엔트로피 정의가 서로 일치하거나 다를 조건, 특히 사상이 균일 연속이 아닐 경우를 규명한다.
• 예시를 통해 동일한 균일 등가 클래스 내에서 거리의 선택에 따라 엔트로피 값이 달라질 수 있음을 보여준다.
• 원래 Adler-Konheim-McAndrew의 거리에 의존하지 않는 정의가 많은 비콤팩트 경우에서 유한한 엔트로피를 도출하지 못함을 보여준다.

제안 방법

• 저자들은 컴팩트 거리공간의 부분집합 X 위의 연속 자기사상 f를 고려하며, X는 전적으로 유계이지만 반드시 닫혀 있지는 않다고 가정한다.
• Bowen-Dinaburg 거리 기반 정의를 그대로 비콤팩트이고 전적으로 유계인 상황으로 확장하여, 환경 공간 내의 (n,ε)-분리 집합을 통해 엔트로피를 정의한다.
• Friedland의 엔트로피는 f의 그래프의 컴 pactification을 통해 정의하며, 이는 확장된 Bowen-Dinaburg 정의와 일치함을 보인다.
• Bowen의 컴팩트 집합 기반 엔트로피는 X의 모든 컴팩트 부분집합 K에 대해 K 위의 Bowen-Dinaburg 엔트로피의 상한으로 정의된다.
• 특히 단위 원판에서 0 또는 1 근처의 반경 성분을 '비틀기'(crumpling)하는 방식의 거리 변형을 통해, 엔트로피 값이 변화하는 예를 구성한다.
• 이론을 x ↦ 2x 사상과 막힌 원판 위의 제곱 사상과 같은 동역학계에 적용하여, 다양한 임bedding 하에서 엔트로피를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 Bowen-Dinaburg 거리 기반 정의의 위상적 엔트로피는 비콤팩트이고 전적으로 유계인 거리공간으로 의미 있게 확장될 수 있는가?
• RQ2 균일 연속성이 없는 상황에서 Friedland의 그래프 컴 pactification 엔트로피와 Bowen의 컴팩트 집합 엔트로피는 어떻게 비교되는가?
• RQ3 균일 등가인 거리들 사이에서도 엔트로피 값이 달라질 수 있는가?
• RQ4 왜 원래 Adler-Konheim-McAndrew의 거리에 의존하지 않는 정의는 많은 비콤팩트 시스템에서 무한한 엔트로피를 도출하는가?
• RQ5 사상이 균일 연속적이지 않아 공간의 완비화로 연속적으로 연장되지 않을 경우 엔트로피는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 확장된 Bowen-Dinaburg 엔트로피((n,ε)-분리 집합을 환경 공간에서 정의)는 Friedland의 그래프 컴 pactification 엔트로피와 일치하며, 둘 다 Bowen의 컴팩트 집합 엔트로피를 지배한다.
• Γ ⊂ (0,1)×S¹ 위에서 (x,θ) ↦ (x², 2θ mod 1)로 정의된 G: Γ → Γ 사상에 대해 Friedland-Bowen-Dinaburg 엔트로피는 log N 이며, Bowen 컴팩트 집합 엔트로피는 0 이다.
• f(x,θ) = (x², 2θ mod 1) 사상이 (0,1)×S¹ 위에서 |z| = x 로 임베딩될 경우 Friedland-Bowen-Dinaburg 엔트로피는 log 2 이지만, Bowen 컴팩트 집합 엔트로피는 0 이다; 반면 |z| = 1−x 로 임베딩할 경우 둘 다 log 2 가 된다.
• 제8정리의 '비틀기' 구성법을 적용하면, 임의의 정수 N ≥ 2 에 대해 h_BD = h_Bc = log N 를 얻을 수 있으며, 비틀기를 적용하는 위치에 따라 h_BD = log N 이고 h_Bc = 0 이 되는 경우도 가능하다.
• Adler-Konheim-McAndrew의 거리에 의존하지 않는 정의는 광범위한 비콤팩트 예시에서 무한한 엔트로피를 도출하므로 일반화로는 부적절하다.
• 논문은 Bowen 컴팩트 집합 엔트로피가 컴팩트 경우에서 성립하는 기본적인 불변성 성질(예: h(f) = h(f⁻¹))을 만족하지 못함을 보여주며, 이는 Friedland의 엔트로피와 대조된다.