[논문 리뷰] Topological entropy of continuous actions of compactly generated groups

Friedrich Martin Schneider|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 13.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 컴acts로 생성된 위상군의 컴팩트 하우스도르프 공간 위 연속 작용에 대한 새로운 위상적 엔트로피 개념을 도입한다. 이는 위상적 엔트로피가 0이면 애먼블리티가 성립하고, 컴팩트하게 생성된 국소 컴팩트 군 $G$의 $L^\infty(G)$의 약한-* 단위 구두 위에 정의된 표준적 작용이 $G$가 컴팩트일 때와 그 밖에 $G$가 거의 연결이면서 비콤팩트일 경우에 따라 각각 위상적 엔트로피가 0이거나 무한대가 되는 것으로 증명한다.

ABSTRACT

We introduce a notion of topological entropy for continuous actions of compactly generated topological groups on compact Hausdorff spaces. It is shown that any continuous action of a compactly generated topological group on a compact Hausdorff space with vanishing topological entropy is amenable. Given an arbitrary compactly generated locally compact Hausdorff topological group $G$, we consider the canonical action of $G$ on the closed unit ball of $L^{1}(G)' \cong L^{\infty}(G)$ endowed with the corresponding weak-$^{\ast}$ topology. We prove that this action has vanishing topological entropy if and only if $G$ is compact. Furthermore, we show that the considered action has infinite topological entropy if $G$ is almost connected and non-compact.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트하게 생성된 위상군의 연속 작용에 대한 위상적 엔트로피 개념을 컴팩트 하우스도르프 공간에 확장한다.
• 위상적 엔트로피가 0이면 군 작용의 애먼블리티가 성립한다는 연결 고리를 확립한다.
• 컴팩트하게 생성된 국소 컴팩트 군 $G$의 $L^\infty(G)$의 약한-* 단위 구두 위에 정의된 표준적 작용의 위상적 엔트로피를 특성화한다.
• 이 표준적 작용이 언제 위상적 엔트로피가 0이거나 무한대가 되는지 군의 구조에 따라 결정한다.

제안 방법

• 유한 개방 덮개와 그의 정교화를 사용하여 컴팩트하게 생성된 위상군의 연속 작용에 대한 새로운 위상적 엔트로피 정의를 도입한다.
• 군 작용 하에서의 $S^n$-정교화 개념을 적용하여 덮개 복잡도의 증가를 측정한다.
• 쌍대 공간 $L^1(G)' \cong L^\infty(G)$를 사용하고, 닫힌 단위 구두에 약한-* 위상을 도입하여 $G$의 표준적 작용을 정의한다.
• 컴팩트 생성 집합 $S$를 사용하고, 덮개 수 $(S^n:\mathcal{V})_\alpha$ 의 증가율을 분석하여 엔트로피 양 $\eta(\alpha,S,\mathcal{V})$ 를 정의한다.
• 컴팩트 집합이 생성 집합의 고차항 내부에 포함되어 있음을 보장하기 위해 레마 2.2를 적용한다.
• 거의 연결 군의 구조와 항등원 근방 $U$에 대해 $\bigcup_n U^n$ 이 비콤팩트임을 이용하여 정교화 복잡도가 지수적으로 증가하는 덮개를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트하게 생성된 위상군의 연속 작용이 컴팩트 하우스도르프 공간 위에서 위상적 엔트로피가 0이면, 이는 군 작용이 애먼블리티임을 의미하는가?
• RQ2 컴팩트하게 생성된 국소 컴팩트 군 $G$의 $L^\infty(G)$의 약한-* 단위 구두 위에 정의된 표준적 작용에서, 위상적 엔트로피가 언제 0이 되는가?
• RQ3 이 표준적 작용이 언제 무한대의 위상적 엔트로피를 가지는가?
• RQ4 이 표준적 작용의 위상적 엔트로피는 군 $G$의 컴팩트성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 군 $G$의 거의 연결성과 그 표준적 작용의 엔트로피 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 컴팩트하게 생성된 위상군의 연속 작용이 컴팩트 하우스도르프 공간 위에서 위상적 엔트로피가 0이면, 그 작용은 애먼블리티이다.
• 컴팩트하게 생성된 국소 컴팩트 하우스도르프 군 $G$의 $L^\infty(G)$의 약한-* 단위 구두 위에 정의된 표준적 작용 $\alpha$ 는 $G$가 컴팩트일 때와 그 때에만 위상적 엔트로피가 0이 된다.
• 만약 $G$가 거의 연결이면서 비콤팩트이면, 표준적 작용 $\alpha$ 는 무한대의 위상적 엔트로피를 가진다.
• 모든 비콤팩트 $G$에 대해, 두 원소로 이루어진 개방 덮개 $\mathcal{V}$ 가 존재하여 $\eta(\alpha,S,\mathcal{V}) \geq \frac{1}{2k}$ 를 만족한다. 여기서 $k$ 는 $S^n$ 이 항등원 근방이 되는 최소의 $n$ 이다.
• 거의 연결이면서 비콤팩트인 $G$ 에 대해 엔트로피 양 $\eta(\alpha,S,\mathcal{V})$ 는 임의로 크게 만들 수 있으며, 이는 무한대의 위상적 엔트로피를 증명한다.