[논문 리뷰] Topological entropy of minimal geodesics and volume growth on surfaces

Gerhard Knieper, Carlos Ogouyandjou외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 09.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 종수 2 이상의 닫힌 리만 표면에 대해, 최소 기하선에 제한된 기하선 흐름의 위상적 엔트로피가 메트릭의 체적 엔트로피와 일치함을 증명한다. 보편 커버에서의 엔트로피 확장성과 체적 성장 추정을 이용하여, 저자들은 상한과 하한으로 최소 기하선의 위상적 엔트로피를 제한함으로써 등식을 증명한다. 이는 이전의 음의 곡률에 대한 결과를 일반화하고, 하이퍼볼릭 유형의 표면으로까지 확장한다.

ABSTRACT

Let (M,g) be a compact Riemannian manifold of hyperbolic type, i.e M is a manifold admitting another metric of strictly negative curvature. In this paper we study the geodesic flow restricted to the set of geodesics which are minimal on the universal covering. In particular for surfaces we show that the topological entropy of the minimal geodesics coincides with the volume entropy of (M, g) generalizing work of Freire and Mane.

연구 동기 및 목표

• 닫힌 리만 표면에서 최소 기하선의 위상적 엔트로피와 체적 엔트로피 사이의 등식을 확립하는 것.
• 공액점이 없는 메트릭에서 성립했던 프레이라와 마냐의 결과를 하이퍼볼릭 유형의 표면으로 확장하는 것.
• 표면에서 최소 기하선에 제한된 기하선 흐름의 엔트로피가 메트릭의 체적 성장과 같음을 증명하는 것.
• 최소 기하선의 비잡행 집합에서 엔트로피 확장성이 성립함을 보여주어 엔트로피 등식 결과를 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 메트릭 공간에서의 호메오모르피에 대한 보웬의 위상적 엔트로피 정의를 사용하여, 특히 단위 접선다발에서의 기하선 흐름에 적용한다.
• 국소 위상적 엔트로피를 정의하고, β-엔트로피 확장성의 개념을 사용하여 보편 커버의 컴act 부분집합에서 흐름의 복잡성을 제어한다.
• 보편 커버에서의 체적 성장 추정을 적용하여, 최소 기하선에 대한 (n,ε)-분리된 집합의 수를 제한한다. 비교 정리와 관통 영역 내의 유한한 체적 성장을 활용한다.
• 보편 커버에서 그래프 성질에 따라 순서가 매겨진 최소 기하선의 내포된 가족을 구성하고, 이들의 서로소성과 체적 하한을 이용하여 컴팩트 집합 내에서의 이러한 기하선의 수를 제어한다.
• 두 차원의 경우에서 β-엔트로피 확장성과 보편 커버에서의 체적 성장 추정을 사용하여, 최소 기하선 흐름의 위상적 엔트로피가 체적 엔트로피로 상한이 있음을 증명한다.
• 최소 기하선의 비잡행 집합이 측도 불변 측도에서 전측을 차지한다는 사실을 이용하여, 전체 최소 기하선 흐름의 위상적 엔트로피를 비잡행 부분의 엔트로피와 동일시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하이퍼볼릭 유형의 표면에서, 최소 기하선에 제한된 기하선 흐름의 위상적 엔트로피는 체적 엔트로피와 일치하는가?
• RQ2 표면에서 최소 기하선의 기하선 흐름은 비잡행 집합에서 β-엔트로피 확장성인가?
• RQ3 두 차원에서 최소 기하선의 위상적 엔트로피에 대한 상한이 체적 엔트로피와 일치함을 보일 수 있는가?
• RQ4 음의 곡률에서 성립하는 위상적 엔트로피와 체적 엔트로피의 등식이 음의 곡률에서 하이퍼볼릭 유형의 표면으로까지 확장되는가?

주요 결과

• 임의의 종수 2 이상의 닫힌 리만 표면에 대해, 최소 기하선에 제한된 기하선 흐름의 위상적 엔트로피는 메트릭의 체적 엔트로피와 일치한다.
• 최소 기하선의 기하선 흐름은 비잡행 집합에서 β-엔트로피 확장성임을 보여주어 엔트로피 등식 결과를 가능하게 한다.
• 보편 커버에서의 체적 성장 추정을 통해, 컴팩트 집합과 관통 영역을 이용하여 최소 기하선의 위상적 엔트로피가 체적 엔트로피로 상한이 있음을 제한한다.
• 카토크와 하셀블라트의 일반 결과에 의해 최소 기하선의 위상적 엔트로피의 하한이 체적 엔트로피 이상임이 입증된다.
• 동일한 방법을 사용하여, 등가 노름과 배경 리만 메트릭을 통한 체적 엔트로피 정의를 이용해, 이 결과는 펄라 메트릭으로까지 확장된다.
• 이 결과는 오리엔터블 이중 커버로의 환원 또는 직접 계산을 통해, 2-구면체와 2-토러스를 포함한 모든 닫힌 표면에서 성립한다.