[논문 리뷰] Topological entropy of nonautonomous dynamical systems

Kairan Liu, Yixiao Qiao외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 18.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 15인용 수 100

한 줄 요약

비자율적 동역학계(NADS)에 대해, X의 위상적 엔트로피가 0일 때 그것의 측정치로 유도된 시스템의 엔트로피도 0이고, X의 양의 엔트로피는 유도 시스템의 엔트로피를 +∞로 만든다는 것을 보이고; 또한 NADS에서 엔트로피가 유한대-일대일 확장에서 보존되지 않는다는 반례를 제시한다.

ABSTRACT

Let $\mathcal{M}(X)$ be the space of Borel probability measures on a compact metric space $X$ endowed with the weak$^\ast$-topology. In this paper, we prove that if the topological entropy of a nonautonomous dynamical system $(X,\{f_n\}_{n=1}^{+\infty})$ vanishes, then so does that of its induced system $(\mathcal{M}(X),\{f_n\}_{n=1}^{+\infty})$; moreover, once the topological entropy of $(X,\{f_n\}_{n=1}^{+\infty})$ is positive, that of its induced system $(\mathcal{M}(X),\{f_n\}_{n=1}^{+\infty})$ jumps to infinity. In contrast to Bowen's inequality, we construct a nonautonomous dynamical system whose topological entropy is not preserved under a finite-to-one extension.

연구 동기 및 목표

• 비자율적 동역학계(NADS)와 그에 의해 유도된 측정 시스템에서 엔트로피 연구를 동기화한다.
• NADS와 그 확률 측정 공간에서의 유도 시스템 사이의 정확한 엔트로피 관계를 확립한다.
• 비자율 설정에서 확장이 엔트로피를 보존하는지 여부를 조사한다.
• NADS에서 Bowen 유형 엔트로피 부등식의 경계를 보여주는 구성들을 제공한다.

제안 방법

• 약한 위상에서의 Borel 확률 측도 공간에 대한 유도 시스템을 정의한다.
• 유도 시스템에 대해 h_top(X, {f_n}) = 0 ⇔ h_top(M(X), {f_n}) = 0 을 증명한다.
• X^k를 M(X)에 삽입하고 단사적이면서 등위적 사상을 이용해 h_top(X, {f_n}) > 0 ⇔ h_top(M(X), {f_n}) = +∞ 를 보인다.
• NADS에서 엔트로피가 유한대-일대일 확장에서 보존되지 않을 수 있음을 보여주는 구체적 반례를 구성한다.
• 덮개 추정으로 엔트로피의 하한을 얻기 위해 결합론적 보조정리(Lemma 4.1)를 활용한다.
• 자명하고 구체적인 유한대-일대일 확장으로 h_top(X) > h_top(Y)가 성립하는 경우를 제시하여 독립형(Bowen) 부등식이 자율 경우와 다르게 작용함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 NADS의 엔트로피가 0이면 측정 공간에서의 유도 시스템의 엔트로피도 0이고 그 반대도 성립하는가?
• RQ2 NADS의 양의 엔트로피와 그 측정 공간에서의 유도 시스템의 엔트로피 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 고전적(자율적) 설정에서처럼 NADS에서도 유한대-일대일 확장에서 엔트로피가 보존되는가?
• RQ4 NADS에서 Bowen의 부등식이 성립하지 않음을 보이는 명시적 반례를 구성할 수 있는가?
• RQ5 X^k를 유도 시스템에 삽입하여 엔트로피의 하한을 얻는 방법은 무엇인가?

주요 결과

• h_top(X, {f_n}) = 0 이고 필요충분조건으로 h_top(M(X), {f_n}) = 0 이다.
• h_top(X, {f_n}) > 0 이고 필요충분조건으로 h_top(M(X), {f_n}) = +∞ 이다.
• 모든 k에 대해, 좌표별 유도 사상으로 작동하는 X^k 의 엔트로피는 k · h_top(X, {f_n}) 이다; 따라서 h_top(X, {f_n}) > 0 이면 유도 시스템의 엔트로피는 무한(infinite)이다.
• 일부 유한대-일대일 확장 (X, {f_n}) → (Y, {g_n})에서 h_top(X, {f_n}) > h_top(Y, {g_n}) 인 경우가 존재하여 Bowen의 엔트로피 부등식이 일반적으로 NADS에 대해 성립하지 않음을 보인다.
• 논문은 비자율적 설정에서 유한대-일대일 확장하에서 엔트로피 보존의 실패를 보여주는 구성적 반례를 제시한다.