[논문 리뷰] Topological Field Theory on a Lattice, Discrete Theta-Angles and Confinement

Anton Kapustin, Ryan Thorngren|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 13.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 아벨 자기장 게이지 군 Π₂ 값의 이산 2형식 게이지 장을 사용하여 4차원 게이지 이론의 비산성 단계를 위한 격자 위상 양자장이론(TQFT)을 수립한다. 이 이론에서 θ-각도는 양자화되어 있고, Π₂ 위의 이차 함수로 분류되며, 연속적 양밀스 이론에서 발견된 이산 θ-각도를 일반화한다. 주요 결과는 θ-각도가 비영일 경우 이 TQFT가 일반적인 게이지 이론과 이중성이 없으며, 그 분할 함수가 4차원 다양체의 서명에 의존함으로써 표준 위상 게이지 이론과 구별된다는 것이다.

ABSTRACT

We study a topological field theory describing confining phases of gauge theories in four dimensions. It can be formulated on a lattice using a discrete 2-form field talking values in a finite abelian group (the magnetic gauge group). We show that possible theta-angles in such a theory are quantized and labeled by quadratic functions on the magnetic gauge group. When the theta-angles vanish, the theory is dual to an ordinary topological gauge theory, but in general it is not isomorphic to it. We also explain how to couple a lattice Yang-Mills theory to a TQFT of this kind so that the 't Hooft flux is well-defined, and quantized values of the theta-angles are allowed. The quantized theta-angles include the discrete theta-angles recently identified by Aharony, Seiberg and Tachikawa.

연구 동기 및 목표

• 4차원 게이지 이론의 비산성 단계를 격자에서 기술하는 위상 양자장이론(TQFT)을 수립하기.
• 그러한 TQFT에서 허용되는 θ-각도를 식별하고 분류하여, 그것이 유한 아벨 자기장 게이지 군 Π₂ 위의 이차 함수로 표현됨을 보여주기.
• 연속적 θ-각도에 대한 격자 대응이 부재한 문제를 해결하기 위해, 저에너지 TQFT와 일치하는 양자화된 θ-각도를 가진 격자 양밀스 이론의 격자 수식을 수립하기.
• 아하론요, 세이버그, 타치카와가 규명한 이산 θ-각도의 미세 구조 기원과 선형 연산자 스펙트럼에서의 역할을 명확히 하기.

제안 방법

• 유한 아벨 군 Π₂인 자기장 게이지 군을 갖는 이산 2형식 장 h를 사용하여 격자 TQFT를 수립한다.
• h의 폰트리아진 제곱을 통해 위상적 작용을 정의하며, 이는 쿠퍼 곱의 이차 보완을 통해 H²(K, Π₂)의 코homology 클래스를 H⁴(K, Γ(Π₂))로 매핑한다.
• θ-각도가 비영일 경우 분할 함수가 4차원 다양체의 서명에 의존함을 보여, 표준 위상 게이지 이론과 구별됨을 밝힌다.
• θ-각도가 0일 경우 폰트리아진 쌍대 군 Π₂*를 통해 B장과 게이지 장 간의 이중성을 수립하며, 전자-자기 이중성이 θ-각도가 0일 때에만 성립함을 보인다.
• TQFT에 연결된 격자 양밀스 이론을 구성하여 '트 푸크 플럭스'가 잘 정의되고 양자화되며, 저에너지 TQFT의 θ-각도와 일치함을 보장한다.
• 일반적인 경우에 폰트리아진 제곱을 정의하기 위해 단순형 코호몰로지 1차 형식의 ∪¹ 쿠퍼 곱 연산을 사용하여 게이지 변환과 코호몰로지 클래스 의존성에 대해 일관성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 4차원 게이지 이론의 비산성 단계를 이산 2형식 장만을 사용하여 격자에서 일관되게 수립할 수 있는가?
• RQ2 그러한 격자 TQFT에서 허용되는 θ-각도의 수학적 분류는 무엇이며, 자기장 게이지 군 Π₂와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 θ-각도가 비영일 경우 TQFT가 일반적인 위상 게이지 이론과 동치가 아니며, 그 이유는 무엇이며, 분할 함수는 4차원 다양체 위상에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 아하론요, 세이버그, 타치카와가 연속적 양밀스 이론에서 규명한 이산 θ-각도는 격자 수식에서 실현 가능한가?
• RQ5 연속적 θ-각도에 대해 만족스러운 격자 대응이 없는 이유는 무엇이며, 인스탄톤 수는 이 장애물에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 격자 TQFT에서 허용되는 θ-각도는 자기장 게이지 군 Π₂ 위의 이차 함수로 분류되며, 위상적 작용은 이산 2형식 장 h의 폰트리아진 제곱으로 주어진다.
• Π₂ = Z_r 이고 r 가 짝수일 경우, 이산 θ-각도 q는 2r 모듈로 정수이며, 작용은 Stop(h) = 2πiq/r (˜h ∪ ˜h)[T⁴] (mod 2r)로 주어지며, 짝수 교차 형식으로 인해 q mod r만 관련된다.
• Π₂ = Z_r 이고 r 홀수일 경우, 이산 θ-각도 q는 r 모듈로 정수이며, 작용은 Stop(h) = 2πiq/r (˜h ∪ ˜h)[T⁴]로 주어지며, 폰트리아진 제곱은 f ∪ f를 통해 정의된다.
• θ-각도가 0일 경우 TQFT는 게이지 군 Π₂*를 갖는 위상 게이지 이론과 이중성이 있지만, θ-각도가 비영일 경우 이론은 4차원 다양체의 서명에 의존하므로 어떤 일반적인 게이지 이론과도 동형이 아니며, 이로 인해 구별된다.
• 격자 수식은 아하론요, 세이버그, 타치카와가 규명한 모든 이산 θ-각도를 실현할 수 있지만, 인스탄톤 수가 격자에서 잘 정의되지 않기 때문에 연속적 θ-각도에 대한 격자 대응은 존재하지 않는다.
• θ-각도가 비영일 경우 분할 함수의 가중치는 정규화되지 않지만, [h]의 코호몰로지 클래스를 고정함으로써 양수로 만들 수 있으며, 이는 코호몰로지 클래스에 대한 합산을 통한 몬테카를로 시뮬레이션을 가능하게 한다.