[논문 리뷰] Topological finiteness properties of monoids. Part 2: special monoids, one-relator monoids, amalgamated free products, and HNN extensions

Robert D. Gray, Benjamin Steinberg|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 09.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 48인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 호환성 있는 분류 공간과 Bass–Serre 이론을 사용하여 모노이드의 위상적 유한성 성질을 수립하며, 특수 모노이드가 그 단위군으로부터 F_n 및 FP_n 성질을 상속받음을 증명한다. 이는 r이 진부분거듭제곱이 아닐 경우, 한 관계만을 갖는 모노이드 ⟨A∣r=1⟩가 F_∞이며 기하적 및 코homological 차원이 최대 2임을 보여줌으로써 오랫동안 남아있던 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We show how topological methods developed in a previous article can be applied to prove new results about topological and homological finiteness properties of monoids. A monoid presentation is called special if the right-hand side of each relation is equal to $1$. We prove results which relate the finiteness properties of a monoid defined by a special presentation with those of its group of units. Specifically we show that the monoid inherits the finiteness properties $F_n$ and $FP_n$ from its group of units. We also obtain results which relate the geometric and cohomological dimensions of such a monoid to those of its group of units. We apply these results to prove a Lyndon's Identity Theorem for one-relator monoids of the form $\langle A \mid r=1 angle$. In particular we show that all such monoids are of type $F_{\infty}$ (and $FP_{\infty}$), and that when $r$ is not a proper power, then the monoid has geometric and cohomological dimension at most $2$. The first of these results resolves an important case of a question of Kobayashi from 2000 on homological finiteness properties of one-relator monoids. We also show how our topological approach can be used to prove results about the closure properties of various homological and topological finiteness properties for amalgamated free products and HNN-extensions of monoids. To prove these results we introduce new methods for constructing equivariant classifying spaces for monoids, as well as developing a Bass-Serre theory for free constructions of monoids.

연구 동기 및 목표

• 모노이드의 유한성 성질을 연구하기 위한 위상적 프레임워크를 개발하고, 군 이론에서의 방법을 확장한다.
• Kobayashi가 2000년에 제기한 한 관계만을 갖는 모노이드의 호모로지적 유한성 문제를 해결하기 위해, 그것들이 F_∞임을 증명한다.
• 자유 구조, 예를 들어 모노이드의 자유로운 합성 및 HNN 확장을 통한 위상적 및 호모로지적 유한성 성질에 대한 닫힘 성질을 확립한다.
• 모노이드로의 Bass–Serre 이론을 일반화하고, 모노이드 작용을 위한 호환성 있는 분류 공간을 구축한다.
• 특수 모노이드의 기하적 및 코homological 차원을 그 단위군의 것과 연결한다.

제안 방법

• 군 이론에서의 위상적 방법, 특히 Eilenberg–Mac Lane 공간과 K(G,1) 복합체를 모노이드에 적응시킨다.
• 이산 군 작용과 단체 복합체 위의 모노이드 작용을 사용하여 모노이드의 호환성 있는 분류 공간을 구축한다.
• 자유 구조를 모델링하기 위해 트리와 숲을 사용하는 모노이드판 Bass–Serre 이론을 도입한다.
• 군과 모노이드 환의 평탄성 및 프로젝티브 조건을 사용하여 유한성 성질을 확장에 전달한다.
• Anick–Groves–Squier 정리와 Hochschild 코hom올로지의 응용을 통해 재작성 체계와 FP_n 성질을 연결한다.
• 그룹의 단위군과 부분모노이드 작용의 구조에 기반하여 모노이드가 F_n 또는 FP_n 성질을 갖는지 여부를 판단하는 기준을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특수 모노이드는 그 단위군으로부터 F_n 및 FP_n 성질을 상속받는가?
• RQ2 형태 ⟨A∣r=1⟩의 한 관계만을 갖는 모노이드는 F_∞인가? 그리고 그 기하적 및 코homological 차원은 무엇인가?
• RQ3 자유로운 합성 및 HNN 확장 이론은 모노이드로 일반화되어 유사한 유한성 성질을 갖는가?
• RQ4 어떤 조건이 모노이드 확장을 통해 위상적 또는 호모로지적 유한성 성질을 유지하게 하는가?
• RQ5 특수 모노이드의 기하적 및 코homological 차원은 그 단위군의 것과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 특수 모노이드는 그 단위군으로부터 F_n 및 FP_n 성질을 상속받으며, 이는 모노이드와 군의 유한성 성질 간의 강력한 연결 고리를 확립한다.
• 형태 ⟨A∣r=1⟩의 한 관계만을 갖는 모노이드는 F_∞(또한 FP_∞)이며, Kobayashi가 2000년에 제기한 핵심 열린 문제를 해결한다.
• 관계자 r가 진부분거듭제곱이 아닐 경우, 이러한 모노이드는 기하적 및 코homological 차원이 최대 2이다.
• 모노이드의 자유로운 합성은 모노이드와 부분모노이드 작용에 대한 조건을 만족할 경우 F_n 및 FP_n 성질을 유지한다.
• 기저 모노이드와 부분모노이드가 평탄성 및 유한성 조건을 만족할 경우, 모노이드의 HNN 유사 확장은 bi-FP_n 및 bi-F_n 성질을 유지한다.
• 자유성 가정 하에, HNN 확장의 기하 차원은 기저 모노이드의 기하 차원과 부분모노이드의 기하 차원보다 1 큰 값 중 최댓값으로 제한된다.