[논문 리뷰] Topological full groups of one-sided shifts of finite type

Hiroki Matui|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 22.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 27인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 한 방향 유한형 이탈리안 시프트의 경우를 포함하여, 캔터 집합 위의 본질적으로 주로, 최소한의 에탈레 군oids G에 대해 위상적 전체군 [[G]]과 그 교환자부군 D([[G]])가 완전한 불변량임을 증명한다. [[G]]가 유형 F∞ (따라서 유한형으로 표현 가능)임을 증명하고, G가 순수 무한하거나 거의 유한할 경우 D([[G]])가 단순함을 보이며, 히그먼-톰슨 군을 일반화하는 새로운 무한한 유한형으로 표현 가능한 무한 단순 군의 가닥을 제공한다.

ABSTRACT

We explore the topological full group [[G]] of an essentially principal etale groupoid G on a Cantor set. When G is minimal, we show that [[G]] (and its certain normal subgroup) is a complete invariant for the isomorphism class of the etale groupoid G. Furthermore, when G is either almost finite or purely infinite, the commutator subgroup D([[G]]) is shown to be simple. The etale groupoid G arising from a one-sided irreducible shift of finite type is a typical example of a purely infinite minimal groupoid. For such G, [[G]] is thought of as a generalization of the Higman-Thompson group. We prove that [[G]] is of type F_\infty, and so in particular it is finitely presented. This gives us a new infinite family of finitely presented infinite simple groups. Also, the abelianization of [[G]] is calculated and described in terms of the homology groups of G.

연구 동기 및 목표

• 본질적으로 주로, 최소한의 에탈레 군oids G가 캔터 집합 위에 정의되었을 때, 위상적 전체군 [[G]]과 그 교환자부군 D([[G]])가 군oids의 동형류에 대해 완전한 불변량임을 확립하는 것.
• G가 거의 유한하거나 순수 무한할 경우 D([[G]])가 단순함을 증명하여, 최소한의 Z-작용에 대해 알려진 결과를 확장하는 것.
• 한 방향의 기하급수적이고 기하급수적으로 불가약한 이탈리안 시프트로부터 유도된 군oids에 대해 [[G]]의 유한성 성질을 분석하여, [[G]]가 유형 F∞임을 보이는 것.
• 군oids의 호몰로지 군 H₁(G)과 H₀(G)를 이용해 [[G]]의 아벨화를 표현하는 것.
• 유한군 또는 자유군의 자유곱의 경계 작용에 대해 [[G]]가 새로운 유한형으로 표현 가능한 무한 단순 군의 가닥을 제공함을 보이는 것.

제안 방법

• 정규부군이 D([[G_i]])를 포함하는 [[G₁]]과 [[G₂]] 사이의 임의의 군 동형사상이, G₁⁽⁰⁾와 G₂⁽⁰⁾의 위상동형사상에서 유도됨을 보이기 위해 공간적 실현 정리를 사용하는 것.
• [[G]]의 아벨화를 연구하고, 순수 무한 군oids에 대해 그 전성함을 증명하기 위해 인덱스 사상 I: [[G]] → H₁(G)를 적용하는 것.
• 특히 유한형 이탈리안 시프트와 관련된 쿤츠-크리에거 대수의 구조를 활용하여, C*-대수 이론과 위상적 동역학의 기법을 적응하는 것.
• 자유곱 P*Q 또는 자유군 Fₖ의 경계 작용으로부터 유도된 군oids에 대해 H₀(G)와 H₁(G)의 호몰로지 군을 계산하여 [[G]]와 그 몫의 구조를 규명하는 것.
• F∞ 군 이론과 호모토피적 유한성 성질 이론을 사용하여, 이탈리안 시프트에 대해 [[G]]가 유형 F∞임을 증명하는 것.
• 이동의 역학과 군oids의 구조에서 유도된 생성자와 관계를 통해 [[G]]와 그 부분군의 표현을 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상적 전체군 [[G]]과 그 교환자부군 D([[G]])는 본질적으로 주로, 최소한의 에탈레 군oids G가 캔터 집합 위에 정의되었을 때, 그 동형류에 대해 완전한 불변량이 될 수 있는가?
• RQ2 G에 어떤 조건이 성립할 경우, 교환자부군 D([[G]])가 단순해지는가?
• RQ3 한 방향의 기하급수적이고 기하급수적으로 불가약한 이탈리안 시프트로부터 유도된 군oids에 대해 [[G]]의 유한성 성질은 무엇인가?
• RQ4 [[G]]의 아벨화는 군oids의 호몰로지 군 H₁(G)과 H₀(G)와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 자유곱 P*Q 또는 자유군 Fₖ의 경계 작용에 대해 [[G]]가 새로운 유한형으로 표현 가능한 무한 단순 군의 가닥을 제공하는가?

주요 결과

• 모든 본질적으로 주로, 최소한의 에탈레 군oids G에 대해, 위상적 전체군 [[G]]과 그 교환자부군 D([[G]])는 완전한 불변량이다: [[G₁]] ≅ [[G₂]]이면, 그리고 그 때에만 G₁ ≅ G₂로 에탈레 군oids로서 동형이다.
• G가 순수 무한하고 최소한일 경우, 교환자부군 D([[G]])는 단순하며, [[G]]는 자유곱 ℤ₂ * ℤ₃를 포함하므로, 비가역성을 띤다.
• 모든 한 방향의 기하급수적이고 기하급수적으로 불가약한 이탈리안 시프트에 대해, 위상적 전체군 [[G]]는 유형 F∞이므로, 따라서 유한형으로 표현 가능하며, 히그먼-톰슨 군 Vₙ,₁를 일반화한다.
• [[G]]의 아벨화는 H₁(G)와 동형이며, 순수 무한 군oids에 대해 인덱스 사상 I: [[G]] → H₁(G)는 전사이다.
• |P|=p, |Q|=q일 때, 자유곱 P*Q의 경계 작용에 대해 H₀(G) ≅ ℤₙ₋₁이고 H₁(G) ≅ 0이며, 여기서 n = (p−1)(q−1)이며, [[G]]는 Gₙ,ₚ 또는 Gₙ,ₚ와 동형이다.
• 자유군 Fₖ의 경계 작용에 대해 [[G]]는 유형 F∞이며, D([[G]])는 단순하며, [[G]]/[[G]]₀ ≅ ℤᵏ이며, k가 짝수이면 [[G]]₀/D([[G]]) ≅ (ℤ₂)ᵏ, k가 홀수이면 (ℤ₂)ᵏ⁺¹이다.