[논문 리뷰] Topological fundamental groups can distinguish spaces with isomorphic homotopy groups

Paul Fabel|ArXiv.org|2005. 02. 18.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 경로연결성, 비가군성, 분리 가능한 거리 공간 $X$와 $Y$를 구성하며, 포함사상 $j: X \to Y$가 호모토플리 그룹에 대해 동형사를 유도하지만, 위상적 기본군 $\pi_1(X,p)$와 $\pi_1(Y,p)$는 서로 위상적으로 동형이 아님을 보인다. 주요 기여는 대수적 불변량(호모토플리 그룹)이 실패하는 상황에서도 기본군의 위상이 호모토플리 유형을 구별할 수 있음을 입증함으로써, 비-CW 공간에서 화이트헤드 정리의 실패를 극복하고자 하는 데 있다.

ABSTRACT

We exhibit a map f between aspherical spaces X and Y such that f induces an isomorphism on homotopy groups but, with natural topologies, X and Y fail to have homeomorphic fundamental groups. Thus the topological fundamental group has the capacity to distinguish homotopy type when the Whitehead theorem fails.

연구 동기 및 목표

• 대수적 불변량(예: 호모토플리 그룹)이 실패할 때 위상적 기본군의 위상이 호모토플리 유형의 차이를 감지할 수 있는지 조사하기.
• 포함사상 $j^*: \pi_1(X,p) \to \pi_1(Y,p)$가 동형사지만 $\pi_1(X,p)$와 $\pi_1(Y,p)$가 위상적으로 동형이 아닌, 명시적인 경로연결성, 비가군성, 분리 가능한 거리 공간 $X$와 $Y$를 구성하기.
• 반국소 단순연결성(semilocal simple connectivity)이 위상적 기본군의 이산성(discreteness)을 암시한다는 가정을 도전하기.
• 비정상적인 공간에서 위상적 기본군이 대수적 기본군보다 더 강력한 불변량임을 입증하여 호모토플리 유형을 감지하는 데 기여하기.

제안 방법

• 모든 $n \geq 2$에 대해 $\mathbb{R}^2$ 내부에 서로 겹치지 않는 단순폐곡선 $C_n$의 가산 합집합으로서 $X$를 구성하며, 이들 모두는 공통 기저점 $p = (0,0)$에서 연결되어 루프의 부르마(bouquet)를 이룬다.
• Y를 $X$의 $\mathbb{R}^2$에서의 클로처로 정의하며, 선분 $\alpha = [(0,0),(0,1)]$를 첨부함으로써 $C_n$이 하우스도르프 거리에서 $\alpha$로 수렴하도록 한다.
• X와 Y가 1차원이면서 경로연결이므로 비가군성임을 유추할 수 있으며, 따라서 $n \geq 2$일 때 $\pi_n(X,p) = \pi_n(Y,p) = 1$이 되어 화이트헤드 정리의 가정을 만족한다.
• Y에서 X로의 호모토피를 올려서 단사성을 보이고, 이미지 루프를 X로의 변형수축(deformation retraction)을 통해 전사성을 증명함으로써 $j^*: \pi_1(X,p) \to \pi_1(Y,p)$가 동형임을 증명한다.
• $X$의 국소 수축 가능성에 기반해 $\pi_1(X,p)$가 이산적임을 보이고, 반면 $Y$에서는 상수 루프가 비자명한 루프들의 균일한 극한임으로써 $\pi_1(Y,p)$는 이산적이지 않음을 증명한다.
• $\pi_1(Y,p)$에 몫위상(quotient topology)을 적용하여 항등원의 경로성분이 열린 집합이 아니므로, $\pi_1(Y,p)$는 이산 위상을 갖지 않으며, 이는 $\pi_1(X,p)$와의 위상동형이 불가능함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 화이트헤드 정리가 실패할 때, 동형 호모토플리 그룹을 가진 공간들을 위상적 기본군의 위상이 구별할 수 있는가?
• RQ2 비-CW 공간에서 위상적 기본군은 대수적 기본군보다 더 강력한 불변량인가?
• RQ3 반국소 단순연결성이 위상적 기본군의 이산성을 암시하는가?
• RQ4 반국소 단순연결성을 유지하면서도 위상적 기본군이 이산적이지 않은 공간이 존재하는가?

주요 결과

• 포함사상 $j: X \to Y$는 모든 호모토플리 그룹에 대해 동형사를 유도하며, 화이트헤드 정리의 가정을 만족한다.
• X가 국소 수축 가능하므로 $\pi_1(X,p)$는 이산적이다.
• $Y$에서 상수 루프가 비자명한 루프들의 균일한 극한이므로 $\pi_1(Y,p)$는 이산적이지 않다.
• $\pi_1(Y,p)$에서 항등원의 경로성분은 열린 집합이 아니므로, $\pi_1(Y,p)$는 이산 위상을 갖지 않는다.
• $\pi_1(X,p)$는 이산적이지만 $\pi_1(Y,p)$는 이산적이지 않기 때문에, 두 위상군은 서로 위상적으로 동형이 아니다.
• 따라서 $X$와 $Y$는 동형 호모토플리 그룹을 지니고 있음에도 불구하고 호모토플리 동치가 아니며, 이는 위상적 기본군이 호모토플리 불변량으로서의 힘을 보여준다.