[논문 리뷰] Topological Hochschild and cyclic homology for Differential graded categories

Gonçalo Tabuada|arXiv (Cornell University)|2008. 04. 17.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 33인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 미분가환( dg ) 범주에 대해 위상수학적 호크스필드 호모로지(THH)와 위상수학적 순환 호모로지(TC)를 정의하기 위해, dg 범주와 Eilenberg-Mac Lane 스펙트럼 범주 사이의 Quillen 동치를 구축함으로써 이를 달성한다. 또한, 대수적 K-이론에서 THH로의 비자명한 자연 변환의 존재를 증명하고, ℚ 위에서 dg 범주의 위상적 동치가 준위상동치와 일치함을 보여준다.

ABSTRACT

We define a topological Hochschild (THH) and cyclic (TC) homology theory for differential graded (dg) categories and construct several non-trivial natural transformations from algebraic K-theory to THH(-). In an intermediate step, we prove that the homotopy theory of dg categories is Quillen equivalent, through a four step zig-zag of Quillen equivalences, to the homotopy theory of Eilenberg-Mac Lane spectral categories. Finally, we show that over the rationals two dg categories are topological equivalent if and only if they are quasi-equivalent.

연구 동기 및 목표

• 미분가환(dg) 범주의 맥락으로 위상수학적 호크스필드 호모로지 및 순환 호모로지 이론을 확장하는 것.
• dg 범주의 호모토피 이론과 Eilenberg-Mac Lane 스펙트럼 범주의 호모토피 이론 사이의 Quillen 동치를 확립하는 것.
• dg 범주에 대해 대수적 K-이론에서 위상수학적 호크스필드 호모로지로의 자연 변환을 구성하는 것.
• ℚ 위에서 dg 범주의 위상적 동치와 준위상동치 사이의 관계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• Eilenberg-Mac Lane 스펙트럼 환 스펙트럼 HR을 기반으로 한 스펙트럼 범주로 enrich된 범주로서의 Eilenberg-Mac Lane 스펙트럼 범주의 개념을 도입한다.
• dg 범주와 Eilenberg-Mac Lane 스펙트럼 범주 사이를 연결하기 위해 4단계의 짐작형( zig-zag ) Quillen 동치를 개발한다.
• 스펙트럼 범주에 대한 Blumberg와 Mandell의 위상수학적 호모로지 이론을 적용하여 dg 범주에 대해 THH와 TC를 정의한다.
• Bousfield 국소화와 비가환 필터링 기법을 사용하여 모델 구조와 약한 동치를 확립한다.
• Quillen의 모델 범주 이론과 대칭 스펙트럼을 활용하여 필요한 호모토피 동치를 구성한다.
• HR-범주에서 스펙트럼 범주로의 제약 함수를 활용하여 THH와 TC 이론을 dg 범주로 이행시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상수학적 호크스필드 호모로지가 어떻게 미분가환 범주로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 dg 범주의 맥락에서 대수적 K-이론과 위상수학적 호크스필드 호모로지 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 두 dg 범주는 ℚ 위에서 위상적으로 동치일 필요와 충분조건이 준위상동치인가?
• RQ4 dg 범주와 스펙트럼 범주 사이의 호모토피 이론적 관계는 무엇인가?
• RQ5 dg 범주의 호모토피 이론이 Eilenberg-Mac Lane 스펙트럼 범주의 호모토피 이론과 Quillen 동치가 될 수 있는가?

주요 결과

• dg 범주의 호모토피 이론은 4단계 짐작형을 통해 Eilenberg-Mac Lane 스펙트럼 범주의 호모토피 이론과 Quillen 동치이다.
• 정수 ℤ 위의 dg 범주에 대해 대수적 K-이론에서 위상수학적 호크스필드 호모로지로의 비자명한 자연 변환 γₙ과 γₙ,ᵣ 가 구성된다.
• 유리수 ℚ 위에서 두 dg 범주는 위상적으로 동치일 필요와 충분조건이 준위상동치이다.
• 매끄럽고 사영적인 다양체 X의 위상수학적 호크스필드 호모로지 THH는 그 dg 유도 범주 Dᵇ₉g(coh(X))의 THH와 동치이다.
• dg 범주에 대한 THH와 TC의 구성은 HR-범주에서 스펙트럼 범주로의 제약 함수와 기존의 스펙트럼 범주에서의 THH 및 TC 이론을 병합함으로써 달성된다.
• 이 논문은 새로운 호모토피 대수 도구를 개발하였으며, 이는 Quillen 동치 기준과 비가환 필터링 추론을 포함하며, 별개의 관심사로도 중요하다.