[논문 리뷰] Topological Hochschild homology and integral $p$-adic Hodge theory

Bhargav Bhatt, Matthew Morrow외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 09.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 32인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 혼합 특성 및 동일 특성 $p$에서 위상수학적 호흐실트 호모로지(THH)에 대한 필터를 도입하며, 이는 대수적 K-이론에 대한 모티빅 필터와 유사하다. 평탄한 강하를 통해 반완전oid 링으로의 응용을 통해, 이 필터의 계수는 혼합 특성에서 $A\widetilde{\bigwedge\bigwedge\bigwedge}$-복합체와 동일 특성 $p$에서 크리스탈린 코homology와 관련된다. 이는 브뤼엘–키신 모듈과 신토믹 층 $\mathbb{Z}_p(n)$의 코homological 구성을 가능하게 하며, $A_{\inf}$-코homology를 개선하고 $p$-진 호드지 이론의 프레임워크를 통합한다.

ABSTRACT

In mixed characteristic and in equal characteristic $p$ we define a filtration on topological Hochschild homology and its variants. This filtration is an analogue of the filtration of algebraic $K$-theory by motivic cohomology. Its graded pieces are related in mixed characteristic to the complex $AΩ$ constructed in our previous work, and in equal characteristic $p$ to crystalline cohomology. Our construction of the filtration on $\mathrm{THH}$ is via flat descent to semiperfectoid rings. As one application, we refine the construction of the $AΩ$-complex by giving a cohomological construction of Breuil--Kisin modules for proper smooth formal schemes over $\mathcal O_K$, where $K$ is a discretely valued extension of $\mathbb Q_p$ with perfect residue field. As another application, we define syntomic sheaves $\mathbb Z_p(n)$ for all $n\geq 0$ on a large class of $\mathbb Z_p$-algebras, and identify them in terms of $p$-adic nearby cycles in mixed characteristic, and in terms of logarithmic de~Rham-Witt sheaves in equal characteristic $p$.

연구 동기 및 목표

• 혼합 특성 및 동일 특성 $p$에서 위상수학적 호흐실트 호모로지(THH)에 대해 모티빅 필터와 유사한 필터를 정의한다.
• 혼합 특성에서 $\mathcal{O}_K$에 대한 고정된 미분가능한 형식 스킴에 대해 브뤼엘–키신 모듈의 코homological 구축을 확립하며, [BMS18]에서 제시된 $A_{\inf}$-코homology 이론을 개선한다.
• 모든 $n \geq 0$에 대해 $\mathbb{Z}_p$-대수에서 신토믹 층 $\mathbb{Z}_p(n)$을 정의하고, 혼합 특성에서는 $p$-진 근처 순환을 통해, 동일 특성 $p$에서는 로그 디람–위트 층과 연결한다.
• THH, TC 및 기타 $p$-진 코homology 이론들과의 관계를 통해 $A_{\inf}$-코homology를 $p$-진 호드지 이론의 통합적이고 일반화된 프레임워크로 일반화한다.

제안 방법

• 필터는 반완전oid 링으로의 평탄한 강하를 통해 구축되며, 준심형 사이트와 코탄젠트 복합체의 성질을 활용한다.
• 이 필터의 계수는 혼합 특성에서 $A\Omega$-복합체와 동일하고, 동일 특성 $p$에서는 크리스탈린 코homology와 동형임을 보인다.
• THH에 대한 니야우드 필터를 사용하고, 프로페르스를 통해 $E$-adic 필터와 연결함으로써, 필터링된 사상 $\mathcal{N}^{\geq \star}\widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}^{(-1)}} \to (E)^\star \otimes \widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}}$를 수립한다.
• 프로페르스 사상 $\varphi: \varphi^*\widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}} \to \widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}}$는 $L\eta_E\widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}}$를 통해 인식되며, 니야우드 필터와 $E$-adic 필터를 연결한다.
• 기저 변경을 통해 $\mathcal{O}_C$로의 일반화를 통해, 스칼라 확장에 의해 딜람, 에탈, 크리스탈린 코homology를 복구할 수 있다.
• 핵심 기술 도구로는 $A_{\inf}$-코homology, $p$-진 근처 순환 함자, 그리고 $\widehat{\mathbbl{\Delta}}$를 통한 프라스티크 코hom로지 이론이 사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼합 특성 및 동일 특성 $p$에서 위상수학적 호흐실트 호모로지에 대해 모티빅 유형의 필터를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 $A_{\inf}$-코homology 이론은 어떻게 브뤼엘–키신 모듈을 값으로 가지는 코homology 이론으로 개선될 수 있으며, 이는 표준적인 $p$-진 코homology 이론을 복원하는가?
• RQ3 신토믹 층 $\mathbb{Z}_p(n)$과 혼합 특성에서의 $p$-진 근처 순환 사이의 관계는 무엇이며, 동일 특성 $p$에서 로그 디람–위트 층과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 THH에 대한 니야우드 필터는 프로페르스를 따라 내림내림되는가? 만약 그렇지 않다면, 프로페르스를 통해 $E$-adic 필터와 어떻게 연결될 수 있는가?

주요 결과

• THH에 대한 필터는 반완전oid 링으로의 평탄한 강하를 통해 구축되며, 이는 계수들이 혼합 특성에서 $A\Omega$-복합체와 동형임을 보장하는 정규적이고 함자적인 필터이다.
• $R\Gamma_{\mathfrak{S}}(\mathfrak{X})$는 브뤼엘–키신 모듈의 $\mathfrak{S}$-선형 복합체로 정의되며, $A_{\inf}$-코homology를 복원하고 모든 표준적인 $p$-진 호드지 성질을 만족한다.
• $A_{\inf}$-코homology 복합체 $R\Gamma_{A_{\inf}}(\mathfrak{X}_{\mathcal{O}_C})$는 $A_{\inf}$-모듈의 완전한 복합체임을 보이며, 프로페르스 준동형사상 $\varphi$는 $\xi$ 또는 $\tilde{\xi}$를 역으로 곱한 후에 동형이 된다.
• $A_{\inf} \to \mathcal{O}_C$에 沿한 스칼라 확장 후, $A_{\inf}$-코homology는 딜람 코hom로지 $R\Gamma_{\mathrm{dR}}(\mathfrak{X}_{\mathcal{O}_C}/\mathcal{O}_C)$를 복원하며, $\mu$를 역으로 곱하면 $A_{\inf}[1/\mu]$-계수를 가진 에탈 코hom로지를 복원한다.
• 이 이론은 혼합 특성에서 $p$-진 근처 순환과, 동일 특성 $p$에서 로그 디람–위트 층과 일치하는 신토믹 층 $\mathbb{Z}_p(n)$을 식별함으로써 통합된 구축을 제공한다.
• 프로페르스 사상 $\varphi: \varphi^*\widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}} \to \widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}}$는 $L\eta_E\widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}}$를 통해 인식되며, 이는 니야우드 필터와 $E$-adic 필터를 연결하는 필터링 동형을 수립한다.