[논문 리뷰] Topological interactions in broken gauge theories

Mark de Wild Propitius|ArXiv.org|1995. 11. 27.

Topological and Geometric Data Analysis인용 수 113

한 줄 요약

이 논문은 대수적 위상수학, 특히 군 코hom로지와 스펙트럴 시퀀스를 사용하여 붕괴된 게이지 이론에서의 위상적 상호작용을 조사하며, 이는 이산 게이지 이론에서 anyonic 통계와 위상적 순서를 분류하는 데 기여한다. 유한 부분군 H ⊂ SU(2)에 대해 코호몰로지 군 H^3(H)는 영이 되고 H^4(H) ≅ ℤ_|H| 임을 증명함으로써, 군의 순서와 연결된 위상적 불변량의 존재를 입증하며, 2+1차원 시스템에서 anyonic 끈 브레딩과 플럭스 변형을 분류하는 데 기여한다.

ABSTRACT

This thesis deals with planar gauge theories in which some gauge group G is spontaneously broken to a finite subgroup H. The spectrum consists of magnetic vortices, global H charges and dyonic combinations exhibiting topological Aharonov-Bohm interactions. Among other things, we review the Hopf algebra D(H) related to this residual discrete H gauge theory, which provides an unified description of the spin, braid and fusion properties of the aforementioned particles. The implications of adding a Chern-Simons (CS) term to these models are also addressed. We recall that the CS actions for a compact gauge group G are classified by the cohomology group H^4(BG,Z). For finite groups H this classification boils down to the cohomology group H^3(H,U(1)). Thus the different CS actions for a finite group H are given by the inequivalent 3-cocycles of H. It is argued that adding a CS action for the broken gauge group G leads to additional topological interactions for the vortices governed by a 3-cocycle for the residual finite gauge group H determined by a natural homomorphism from H^4(BG,Z) to H^3(H,U(1)). Accordingly, the related Hopf algebra D(H) is deformed into a quasi-Hopf algebra. These general considerations are illustrated by CS theories in which the direct product of some U(1) gauge groups is broken to a finite subgroup H. It turns out that not all conceivable 3-cocycles for finite abelian gauge groups H can be obtained in this way. Those that are not reached are the most interesting. A Z_2 x Z_2 x Z_2 CS theory given by such a 3-cocycle, for instance, is dual to an ordinary gauge theory with nonabelian gauge group the dihedral group of order eight. Finally, the CS theories with nonabelian finite gauge group a dihedral or double dihedral group are also discussed in full detail.

연구 동기 및 목표

• 이산 게이지 이론에서 자발적 대칭 붕괴를 가진 경우의 위상적 순서와 anyonic 통계를 이해하기 위해.
• 비아벨 이산 게이지 이론에서 안정적인 자석 비틀림과 그들의 브레딩 성질을 분류하기 위해.
• 스펙트럴 시퀀스를 사용하여 SU(2)의 유한 부분군 H에 대한 코호몰로지를 유도하고, Chern-Simons 이론에서의 물리적 의미를 규명하기 위해.
• 게이지 이론의 위상적 불변량을 양자 듀얼과 변형된 게이지 이론의 구조와 연결하기 위해.
• 대칭 붕괴가 있는 위상적 장 이론에서 플럭스 변형과 비아벨 브레딩 통계의 역할을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• Leray의 스펙트럴 시퀀스를 사용하여 SU(2)의 유한 부분군 H에 대해 H^n(BH) ≅ H^n(H)의 군 코호몰로지를 계산한다.
• E_2^{p,q} ≅ H^p(BSU(2), H^q(SU(2)/H))인 스펙트럴 시퀀스 {E_r, d_r}를 적용하며, H^n(BH)로 수렴한다.
• H^*(BSU(2)) ≅ ℤ[e]이며, e의 차수는 4임을 알고 있음을 활용하여 비영인 항목을 제약한다.
• π: SU(2) → SU(2)/H의 사영을 통해 H^3(SU(2)/H) → H^3(SU(2)) ≅ ℤ로의 호모모르피즘을 유도하며, 이는 |H|에 의한 곱셈이다.
• d_4: H^3(SU(2)/H) → H^4(BSU(2)) ≅ ℤ의 코호몰로지에서 H^3(H)를 핵으로, H^4(H)를 코어널로 계산한다.
• 피복 매핑의 차수를 통해 H^3(H) ≅ 0 및 H^4(H) ≅ ℤ_|H|를 확립하며, 군의 순서와 위상적 불변량을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SU(2)의 유한 부분군 H에 대해 H^n(H)의 구조는 어떻게 되며, 이는 위상적 장 이론과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 스펙트럴 시퀀스는 이산 게이지 이론의 맥락에서 H^3(H)와 H^4(H)의 계산을 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ3 H^4(H) ≅ ℤ_|H|의 물리적 의미는 위상적 순서와 anyonic 통계 분류에서 어떤가?
• RQ4 π: SU(2) → SU(2)/H의 사영은 코호몰로지에 어떤 호모모르피즘을 유도하며, 그 핵과 코어널은 무엇인가?
• RQ5 H^4(BSU(2))에 속한 보편 오일러 클래스 e ∈ H^4(BSU(2))는 H의 위상적 불변량을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• SU(2)의 유한 부분군 H에 대해 H^3(H) ≅ 0이며, 이는 군 코호몰로지에서 비자명한 3-코사이클이 존재하지 않음을 나타낸다.
• H^4(H) ≅ ℤ_|H|이며, 이는 네 번째 코호몰로지 군이 H의 순서 |H|에 해당하는 순환군과 동형임을 보여준다.
• 스펙트럴 시퀀스는 E_5에서 안정화되며, p가 4의 배수이고 q = 0,3일 때 E_∞^{p,q} ≅ E_5^{p,q}가 되어 최종 코호몰로지 군을 이룬다.
• d_4: H^3(SU(2)/H) → H^4(BSU(2))의 호모모르피즘은 |H|에 의한 곱셈과 동형이며, 이는 코어널이 ℤ_|H|가 되게 한다.
• H^3(SU(2)/H) ≅ ℤ는 기본류에 의해 생성되며, H^3(SU(2)) ≅ ℤ로의 유도된 사상은 |H|에 의한 곱셈이다.
• 결과적으로 이는 이산 게이지 이론의 위상적 불변량이 SU(2)의 유한 부분군 H의 순서에 직접적으로 연결되어 있음을 확인한다.