[논문 리뷰] Topological K-theory and its Chern character for non-commutative spaces

Anthony Blanc|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복소수 위의 dg-카테고리에 대해 대수적 K-이론의 위상적 실현과 보트 역전환을 통해 위상적 K-이론을 도입하며, 대수적 K-이론에서 주기적 순환환으로 향하는 찰스 캐릭터가 이 불변량으로 내림내림을 증명한다. 이는 단위 dg-카테고리의 위상적 K-이론이 BU임을 증명하고, 유한차원 대수에 대해 격자 추측을 확인하여 주기적 순환환을 프로젝티브 모듈의 스택을 통해 기술하는 공식을 도출한다.

ABSTRACT

The purpose of this work is to give a definition of a topological K-theory for dg-categories over C and to prove that the Chern character map from algebraic K-theory to periodic cyclic homology descends naturally to this new invariant. This topological Chern map provides a natural candidate for the existence of a rational structure on the periodic cylic homology of a smooth proper dg-algebra, within the theory of noncommutative Hodge structures. The definition of topological K-theory consists in two steps : taking the topological realization of algebraic K-theory, and inverting the Bott element. The topological realization is the left Kan extension of the functor space of complex points to all simplicial presheaves over complex algebraic varieties. Our first main result states that the topological K-theory of the unit dg-category is the spectrum BU. For this we are led to prove a homotopical generalization of Deligne's cohomological proper descent, using Lurie's proper descent. The fact that the Chern character descends to topological K-theory is established by using Kassel's Kunneth formula for periodic cyclic homology and once again the proper descent result. In the case of a dg-category of perfect complexes on a smooth scheme, we show that we recover the usual topological K-theory. Finally in the case of a finite dimensional associative algebra, we show that the lattice conjecture holds. This gives a formula for the periodic homology groups of a finite dimensional algebra in terms of the stack of projective modules of finite type.

연구 동기 및 목표

• 위상적 실현과 보트 역전환을 통해 ℂ 위의 dg-카테고리에 대해 위상적 K-이론을 정의한다.
• 대수적 K-이론에서 주기적 순환환으로 향하는 찰스 캐릭터가 이 새로운 위상적 K-이론으로 내림내림함을 확립한다.
• 비환류 호지 이론 내에서 주기적 순환환에 대해 유리수적 구조를 제공한다.
• 매끄러운 스킴 위의 완전 복합체의 고전적 위상적 K-이론을 복원한다.
• 유한차원 결합 대수에 대해 격자 추측을 검증한다.

제안 방법

• 복소대수기하학적 다양체를 그 복소점의 공간으로 보내는 함자를 위상적 실현으로 간주하여, 왼쪽 칸 확장으로 적용한다.
• 수득된 스펙트럼에서 보트 원소를 역전환하여 위상적 K-이론을 정의한다.
• 류리의 적절한 내림내림을 활용하여 델리뉴의 코homological proper 내림내림을 호모토피적 환경으로 일반화한다.
• 주기적 순환환에 대한 캐슬의 쿤네트 공식을 활용하여 찰스 캐릭터의 내림내림을 분석한다.
• 내림내림과 실현 기법을 활용하여 기하적 경우에서 위상적 K-이론과 고전적 불변량을 비교한다.
• 스택 이론적 방법을 활용하여 유한차원 대수의 경우 주기적 순환환을 프로젝티브 모듈의 스택을 통해 기술한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대수적 K-이론을 정교화하고 주기적 순환환으로 향하는 찰스 캐릭터를 수용할 수 있는 ℂ 위의 dg-카테고리에 대해 위상적 K-이론을 정의할 수 있는가?
• RQ2 대수적 K-이론에서 주기적 순환환으로 향하는 찰스 캐릭터가 이 새로운 위상적 K-이론으로 자연스럽게 인플레이션되는가?
• RQ3 단위 dg-카테고리의 위상적 K-이론은 스펙트럼 BU와 동형인가?
• RQ4 이 구성이 매끄러운 스킴 위의 완전 복합체의 dg-카테고리에 대해 고전적 위상적 K-이론을 복원하는가?
• RQ5 유한차원 결합 대수에 대해 격자 추측이 성립하는가? 그리고 주기적 순환환을 프로젝티브 모듈의 스택을 통해 기술할 수 있는가?

주요 결과

• 단위 dg-카테고리의 위상적 K-이론은 스펙트럼 BU와 위상동형이며, 기본적인 경우를 확인한다.
• 대수적 K-이론에서 주기적 순환환으로 향하는 찰스 캐릭터는 새로운 위상적 K-이론으로 자연스럽게 내림내림된다.
• 매끄러운 스킴 위의 완전 복합체의 dg-카테고리에 대해 이 구성은 고전적 위상적 K-이론을 복원한다.
• 유한차원 결합 대수에 대해 격자 추측이 성립하며, 주기적 순환환을 프로젝티브 모듈의 스택을 통해 기술하는 공식을 제공한다.
• 류리의 프레임워크를 활용하여 델리뉴의 코homological proper 내림내림을 호모토피적 일반화로 확립한다.
• 캐슬의 주기적 순환환에 대한 쿤네트 공식은 찰스 캐릭터의 내림내림을 증명하는 데 핵심적인 역할을 한다.