[논문 리뷰] Topological Obstructions To Maximal Slices

Donald Witt|ArXiv.org|2009. 08. 21.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 대부분의 점점 평탄해지고 공간적으로 닫혀 있는 전역적으로 초월 가능한 시공간이 위상적 장애로 인해 최대 슬라이스를 가질 수 없음을 입증한다: 공간 다각형 Σ는 비음성 곡률(R ≥ 0)을 가진 계량을 가져야 하며, 이는 대부분의 위상에서는 가능하지 않다. 저자는 오직 특정 위상—구형 공간 형상과 S²×S¹의 연결 합 또는 평탄한 다각형—만이 이러한 계량을 허용함을 증명하여, 일반 상대성 이론에서 최대 슬라이스는 예외일 뿐 일반적인 법칙은 아님을 보여준다.

ABSTRACT

A necessary condition for a globally hyperbolic spacetime ${\mathbb R} imes Σ$ to admit a maximal slice is that the Cauchy slice $Σ$ admit a metric with nonnegative scalar curvature, $R\ge 0$. In this paper, the two cases considered are the closed spatial manifold and the asymptotically flat spatial manifold. Although most results here will apply in four or more spacetime dimensions, this work will mainly consider 4-dimensional spacetimes. For $Σ$ closed or asymptotically flat, all topologies are allowed by the field equations. Since all $Σ$ occur as Cauchy slices of solutions to the Einstein equations and most $Σ$ do not admit metrics with $R\ge 0$, it follows that most globally hyperbolic spacetimes never admit a maximal slice, i.e. a slice with zero mean extrinsic curvature. In particular, asymptotically flat globally hyperbolic spacetimes which admit maximal slices are the exception rather than the rule. The reason for this is due to topological obstructions to constructing such slices. In the asymptotically flat case, this will be shown by smooth compactification of the manifold in order to use the results for spatially closed manifolds.

연구 동기 및 목표

• 전역적으로 초월 가능한 시공간이 최대 슬라이스를 가질 수 없는 위상 조건을 규명하는 것.
• 모든 점점 평탄하거나 닫혀 있는 시공간이 최대 초면을 지닐 수 있는지 오랫동안 떠 있는 질문을 해결하는 것.
• 모든 3차원 다각형이 물리적으로 타당한 초기 자료를 지닐 수는 있지만, 비음성 곡률을 가진 계량을 지닐 수 있는 것은 소수의 경우에만 가능하므로 최대 슬라이스가 차단됨을 보여주는 것.
• 부드러운 컴actification을 통해 비음성 곡률을 가진 3차원 다각형의 분류를 점점 평탄한 시공간으로 확장하는 것.
• CMC 초면의 존재는 위상적으로 차단되지 않지만, 최대 슬라이스(CMC이자 평균 곡률이 0인 경우)는 위상적으로 차단됨을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 전역적으로 초월 가능한 시공간 ℝ×Σ가 최대 슬라이스를 가질 수 있는 필수 조건은 Σ가 R≥0를 가진 계량을 가져야 한다는 것을 증명한다.
• Gromov-Lawson의 3차원 다각형이 비음성 곡률을 가진 계량을 지닐 수 있는지에 대한 분류를 적용하여, 닫혀 있는 3차원 다각형 중 이 조건을 만족하는 것은 소수임을 보여준다.
• 연산자 −8D²+R의 그린 함수를 사용하여 점점 평탄한 다각형을 닫힌 다각형으로 연결하는 컴actification 정리를 개발한다.
• 최대 원리(maximum principle)를 사용하여 컴actified 계량에서 각도 인자 φ>0임을 보여, 부드러움과 양성을 확보한다.
• 컴actification 결과를 닫힌 3차원 다각형에서 R>0를 가진 경우와 결합하여, 점점 평탄한 Σ 중에서 R≥0 계량을 지닐 수 있는 경우를 분류한다.
• 이 정리를 적용하여, 오직 구형 공간 형상과 S²×S¹의 연결 합(또는 평탄한 다각형)만이 최대 슬라이스를 지닐 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전역적으로 초월 가능한 시공간의 공간 위상 Σ 중에서 최대 슬라이스를 지닐 수 있는 것은 무엇인가?
• RQ2 어떤 위상적 장애가 3차원 다각형이 비음성 곡률을 가진 계량을 지닐 수 없게 하는가?
• RQ3 모든 점점 평탄한 시공간이 최대 슬라이스를 지닐 수 있는가, 아니면 일반적인 위상적 장애가 존재하는가?
• RQ4 점점 평탄한 다각형의 컴actification은 R≥0 계량의 존재와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 비트리비얼 위상의 시공간 중에서 CMC 초면는 지닐 수 있지만 최대 슬라이스는 지닐 수 없는 경우가 있는가?

주요 결과

• 대부분의 점점 평탄한 전역적으로 초월 가능한 시공간은 공간 위상이 R≥0 계량을 허용하지 않기 때문에 최대 슬라이스를 가질 수 없다.
• 비음성 곡률을 가진 계량을 지닐 수 있는 유일한 닫힌 3차원 다각형은 구형 공간 형상과 S²×S¹의 연결 합, 또는 여섯 개인 평탄한 다각형이다.
• 점점 평탄한 시공간의 경우, 공간 위상은 유한 개의 점을 제외한 구형 공간 형상과 S²×S¹의 연결 합이어야만 최대 슬라이스를 지닐 수 있다.
• 컴actification 정리는 점점 평탄한 다각형에서 R≥0를 가진 계량의 분류 문제를 R>0를 가진 닫힌 다각형의 문제로 환원하여, 기존 결과를 활용한 분류가 가능하게 한다.
• 모든 3차원 다각형은 물리적으로 타당한 초기 자료를 지닐 수 있으며, CMC 초면도 존재하지만, 곡률 제약으로 인해 최대 슬라이스를 지닐 수 있는 것은 소수의 경우에만 가능하다.
• 최대 슬라이스의 존재는 위상만으로 보장되지 않는다. 위상이 허용되더라도 시공간 기하학이 이를 방해할 수 있으며, T³ 위상을 가진 먼지로 채워진 Robertson-Walker 예시에서 이를 보여준다.