[논문 리뷰] Topological phases and quantum computation

Alexei Kitaev, Chris R. Laumann|ArXiv.org|2009. 04. 20.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 10인용 수 77

한 줄 요약

이 논문은 양자 many-body 시스템의 위상적 상태와 고장 내성 양자 계산 간의 이론적 프레임워크를 수립한다. 마요라나 체인, 토릭 코드, 꿀벌집 격자와 같은 정확히 해를 구할 수 있는 모델을 분석함으로써, 위상적 디지너시와 anyonic 진동자가 전역적 위상적 불변량에서 기인함을 보여주며, 국소적 외란에 대해 보호되는 강력한 양자 정보 저장 및 브레이딩 기반 양자 게이트를 가능하게 한다.

ABSTRACT

This is a collection of lecture notes from three lectures given by Alexei Kitaev at the 2008 Les Houches summer school "Exact methods in low-dimensional physics and quantum computing." They provide a pedagogical introduction to topological phenomena in 1-D superconductors and in the 2-D topological phases of the toric code and honeycomb model.

연구 동기 및 목표

• 보호된 큐비트를 갖는 1차원 및 2차원 양자 시스템에서 위상적 상태를 식별하고 특성화하는 것.
• 간격이 있는 시스템에서 위상적 디지너시가 기저 만델라의 위상성에 기인하며 국소 대칭이 아닌 것임을 보여주는 것.
• 정확히 해를 구할 수 있는 모델에서 비아벨 anyons과 편향된 표면 모드를 실현함으로써 위상적 양자 계산을 가능하게 하는 것.
• 위상 불변량(예: 치르누스 수)과 편재성 있는 표면 모드 수 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 효율적 해밀토니안과 conformal field theory를 사용하여 국소적 외란에 대한 위상 큐비트의 강건성 분석하기

제안 방법

• 횡방향 자기장 이징 모델(TFIM)을 정확히 해를 구할 수 있는 2차원 페르미온 해밀토니안으로 변환하기 위해 조르당-바이어너 전환을 사용하여 체인 경계에서 마요라나 영모드를 드러낸다.
• 정사각형 격자에 키타에프 토릭 코드 모델을 적용하여 기저 상태와 아벨 통계를 갖는 anyonic 진동자를 명시적으로 구성한다.
• 토릭 코드의 게이지 표현을 도입하여 기원하는 위상적 질서와 anyon 브레이딩 통계를 드러낸다.
• 각 격자 위치에 4개의 마요라나 페르미온을 사용하여 꿀벌집 격자 모델을 분석함으로써 스핀 시스템을 조정 가능한 쌍화 항을 갖는 페르미온 해밀토니안으로 매핑한다.
• 해밀토니안 행렬의 음의 고유공간을 운동량 공간으로 매핑하여 스펙트럼 치르누스 수를 계산하고, 이를 편향된 표면 모드 수와 연결한다.
• 편향된 표면 모드의 강건성을 확인하기 위해 conformal field theory(CFT)를 사용하여 표면 에너지 전류를 계산하고, 편향된 중심 차수를 통해 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 간격이 있는 양자 시스템에서 위상적 디지너시는 국소적 외란에 어떻게 보호될 수 있는가?
• RQ2 1차원 체인 끝에서 0 에너지 마요라나 영모드가 안정화되는 데 있어 위상의 역할은 무엇인가?
• RQ3 토릭 코드의 anyonic 진동자가 아벨 통계를 보이며 위상적 양자 계산을 어떻게 지원하는가?
• RQ4 시간 역행 대칭을 위반하는 2차원 페르미온 시스템에서 편향된 표면 모드 수를 결정하는 위상 불변량은 무엇인가?
• RQ5 왜 편향된 표면 모드가 국소적 외란에 강건하며, 에너지 전류는 어떻게 양자화되는가?

주요 결과

• 1차원 마요라나 체인은 $bZ_2$ 대칭에 의해 보호되는 0 에너지 마요라나 영모드로 인해 개방 경계에서 이중 기저 상태 디지너시를 나타낸다.
• 토르스 위의 토릭 코드는 비수축 가능한 순환을 둘러싼 anyonic 플럭스로 인해 4중 위상 기저 상태 디지너시를 갖는다.
• 토릭 코드의 anyons는 아벨 통계를 따른다: 두 anyons을 브레이딩하면 위상 인자 $-1$을 얻으며, 융합 규칙은 $e imes m = f$, $e imes f = m$ 등이다.
• 꿀벌집 격자 모델은 치르누스 수 $ u = 1$을 갖는 간격이 있는 상태를 지니며, 이는 위상에 의해 보호되는 단일 편향된 마요라나 표면 모드에 해당한다.
• 온도 $T$에서 편향된 표면 모드는 에너지 전류 $I = rac{ au}{12}(c - ar{c})T^2 = rac{ au}{24} au^2$ 를 운반하며, 단일 편향 모드의 경우 $c - ar{c} = 1$ 이다.
• 운동량 공간에서 페르미온 해밀토니안 행렬의 스펙트럼 치르누스 수는 직접적으로 편향된 표면 모드의 수를 세며, $ u = ( ext{왼쪽 이동자}) - ( ext{오른쪽 이동자})$ 로 표현된다.