[논문 리뷰] Topological phases protected by point group symmetry

Hao Song, Sheng-Jie Huang외 2명|CU Scholar (University of Colorado Boulder)|2016. 04. 27.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 격자 점군 대칭을 갖는 보존 및 페르미온 대칭 보호 양자 위상(symmetrically protected topological, SPT) 상태를 분류하고 특성화하기 위한 일반적인 프레임워크를 개발한다. 이 프레임워크는 현존하는 일련의 1차원 위상 상태를 쌓거나 배열함으로써 이러한 위상 상태를 구성할 수 있음을 보여주며, 특히 3차원 점군 SPT 위상의 체계적 분류가 핵심 기여이다. 이는 전자 양자 격자 절연체에 대해 $π imes\mathbb{Z}_{2}$ 분류를, 페르미온 양자 격자 초전도체에 대해 $π_{8}\times\mathbb{Z}_{2}$ 분류를 제공하며, 강한 상호작용을 포함하는 새로운 종류의 위상적 위상 상태를 드러낸다.

ABSTRACT

We consider symmetry protected topological (SPT) phases with crystalline point group symmetry, dubbed point group SPT (pgSPT) phases. We show that such phases can be understood in terms of lower-dimensional topological phases with on-site symmetry, and can be constructed as stacks and arrays of these lower-dimensional states. This provides the basis for a general framework to classify and characterize bosonic and fermionic pgSPT phases, that can be applied for arbitrary crystalline point group symmetry and in arbitrary spatial dimension. We develop and illustrate this framework by means of a few examples, focusing on three-dimensional states. We classify bosonic pgSPT phases and fermionic topological crystalline superconductors with $Z_2^P$ (reflection) symmetry, electronic topological crystalline insulators (TCIs) with ${ m U}(1) imes {Z}_2^P$ symmetry, and bosonic pgSPT phases with $C_{2v}$ symmetry, which is generated by two perpendicular mirror reflections. We also study surface properties, with a focus on gapped, topologically ordered surface states. For electronic TCIs we find a $Z_8 imes Z_2$ classification, where the $Z_8$ corresponds to known states obtained from non-interacting electrons, and the $Z_2$ corresponds to a "strongly correlated" TCI that requires strong interactions in the bulk. Our approach may also point the way toward a general theory of symmetry enriched topological (SET) phases with crystalline point group symmetry.

연구 동기 및 목표

• 결정점군 대칭을 갖는 대칭 보호 양자 위상(SPT) 상태를 체계적으로 분류하기 위한 일반적 프레임워크를 개발하는 것, 이를 점군 SPT(pgSPT) 위상이라 칭한다.
• 이전에 내부 대칭에 국한되었던 기존 분류 방법을, 임의의 공간 차원에서의 반사 및 회전과 같은 결정점군 대칭으로 확장하는 것.
• 비상호작용 밴드 이론으로 기술할 수 없는 강한 상호작용을 포함하는 SPT 위상 상태를 식별하고 특성화하는 것, 특히 반사 대칭을 갖는 시스템에서의 특성화에 중점을 둔다.
• pgSPT 위상의 표면 상태를 분석하며, 아인슈타인 통계를 실현하는 고립된 위상적 순서가 있는 표면 상태에 초점을 맞춘다.
• 결정점군 대칭을 갖는 대칭 강화 위상(SET) 상태에 대한 일반 이론의 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 저자들은 일련의 1차원 위상 상태를 쌓거나 배열함으로써 pgSPT 위상을 구성하여, 임의의 차원에서의 체계적 분류를 가능하게 한다.
• 일반화된 대칭 분할 개념을 사용하고, 스트링 및 멤브레인 연산자를 활용하여 반사 표면을 관통하는 anyonic 통계 및 대칭 변환을 탐색한다.
• 이 프레임워크는 $\mathbb{Z}_{2}^{P}$ (반사), $C_{2v}$ (서로 수직인 두 면 반사), $\mathrm{U}(1)\times\mathbb{Z}_{2}^{P}$ (전하 및 반사 대칭)와 같은 특정 점군에 적용된다.
• 페르미온 시스템의 경우, 반사 대칭을 갖는 anyon을 포함하는 수정된 토릭 코드 모델을 사용하여 위상적 degeneracy가 존재하고 대칭을 유지하는 질서가 존재함을 보여준다.
• 대칭 분할의 일관성 조건과 anyon 끈 끼워맞춤 통계를 바탕으로 분류를 유도하며, 반사축에서 대칭 연산자의 곱에 기반한 제약 조건을 사용한다.
• 반사 대칭에 따라 서로 변환되는 상태들의 대칭 초위상으로 구성된 반사 대칭 보존 상태를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결정점군 대칭에 의해 보호되는 위상적 위상 상태는 임의의 공간 차원에서 어떻게 체계적으로 분류될 수 있는가?
• RQ2 강한 전자 상호작용은 비상호작용 밴드 이론 분류를 넘어서는 새로운 위상적 불변량을 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 점군 SPT 위상에서 고립된 위상적 순서가 있는 표면 상태가 나타날 수 있는가, 그리고 그 anyonic 통계는 어떠한가?
• RQ4 반사 대칭은 페르미온 및 보존 시스템에서 가능한 위상적 불변량을 어떻게 제약하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 결정점군 대칭을 갖는 일반적인 대칭 강화 위상(SET) 이론으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $\mathrm{U}(1)\times\mathbb{Z}_{2}^{P}$ 대칭을 갖는 전자 양자 격자 절연체에 대해 $π_{8}\times\mathbb{Z}_{2}$ 분류를 확립한다. 여기서 $\mathbb{Z}_{8}$ 성분은 비상호작용 상태를, $\mathbb{Z}_{2}$ 성분은 새로운 강한 상호작용 TCI 위상을 나타낸다.
• 반사 대칭을 갖는 페르미온 양자 격자 초전도체의 경우, $\sigma^{2}=1$ 이면 분류는 $\mathbb{Z}_{16}$ 이고, $\sigma^{2}=(-1)^{F}$ 이면 자명하므로 페르미온 편재성에 따라 구분됨을 나타낸다.
• 서로 수직인 두 면 반사로 구성된 $C_{2v}$ 대칭을 갖는 보존 pgSPT 위상은 $(\mathbb{Z}_{2})^{4}$ 로 분류되며, 여러 반사 대칭 간의 상호작용을 반영한다.
• 수정된 토릭 코드 모델은 네 가지 위상적 디제너레이션을 실현하고, 스트링 연산자를 통해 반사축을 넘어서 anyon을 운반할 수 있음을 확인하여 비자명한 anyonic 통계를 확인한다.
• 반사 대칭에 따라 서로 변환되는 두 상태의 대칭 초위상을 구성함으로써 반사 대칭 보존 상태를 수립하였으며, 국소적 대칭 위반에도 불구하고 전반적인 대칭 보존을 보장한다.
• 이 프레임워크는 일부 위상적 위상 상태가 강한 상호작용을 필요로 함을 드러내며, $\mathrm{U}(1)\times\mathbb{Z}_{2}^{P}$ 분류에서의 $\mathbb{Z}_{2}$ 성분이 자유 페르미온 모델로는 기술할 수 없음을 입증한다.