[논문 리뷰] Topological quantum chains protected by dipolar and other modulated symmetries

Jung Hoon Han, Ethan Lake외 3명|arXiv (Cornell University)|2023. 09. 18.

Topological Materials and Phenomena인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 장착된 도메인 벽 구축을 통해 공간적으로 변조된 대칭—이분극, 이중극, 지수적 대칭—에 의해 보호되는 1차원 대칭 보호 양자 위상(SPT) 상의 새로운 클래스를 제안한다. 이는 '_bundle 대칭_'이라는 새로운 개념을 통해 주기적 경계 조건 하에서도 이러한 SPT 상이 여전히 안정됨을 보여주며, 이는 전통적인 전역 대칭을 일반화하여 전역 대칭 연산자가 존재하지 않더라도 비자명한 위상적 순서를 허용한다.

ABSTRACT

We investigate the physics of one-dimensional symmetry protected topological (SPT) phases protected by symmetries whose symmetry generators exhibit spatial modulation. We focus in particular on phases protected by symmetries with linear (i.e., dipolar), quadratic and exponential modulations. We present a simple recipe for constructing modulated SPT models by generalizing the concept of decorated domain walls to spatially modulated symmetry defects, and develop several tools for characterizing and classifying modulated SPT phases. A salient feature of modulated symmetries is that they are generically only present for open chains, and are broken upon the imposition of periodic boundary conditions. Nevertheless, we show that SPT order is present even with periodic boundary conditions, a phenomenon we understand within the context of an object we dub a ``bundle symmetry''. In addition, we show that modulated SPT phases can avoid a certain no-go theorem, leading to an unusual algebraic structure in their matrix product state descriptions.

연구 동기 및 목표

• 공간적으로 변조된 대칭, 예를 들어 이분극, 이중극, 지수적 대칭에 의해 보호되는 SPT 상을 체계적으로 구성하고 분류하기 위한 프레임워크를 개발하는 것.
• 변조된 대칭이 일반적으로 주기적 경계 조건과 호환되지 않아 전역 대칭 연산자가 일관되게 정의될 수 없다는 문제를 다루는 것.
• 전역 대칭의 일반화인 '_bundle 대칭_' 개념을 도입하여 이러한 시스템에서 위상적 순서가 유지됨을 입증하는 것.
• 일반적인 $π_{N}$ 클러스터 상태와의 불등가성을 입증하기 위해 문자열 순서 매개변수, 에지 모드, 행렬 곱 상태(MPS) 표현 방식의 차이를 통해 이분극 SPT 상이 기존의 $π_{N}$ 클러스터 상태와 다름을 보이는 것.
• 표준 금지 정리에서 벗어나, 그들의 MPS 기술에서 특이한 대수적 구조가 나타나는 이유를 밝혀내는 것.

제안 방법

• 공간적으로 변조된 대칭 결함에 대해 장착된 도메인 벽 구축을 일반화하여 변조된 SPT 모델을 체계적으로 구성하는 것.
• 전역 대칭을 일반화하는 수학적 프레임워크로 '_bundle 대칭_'을 정의하며, 겹치는 영역에서 비자명한 전이 함수를 갖는 국소적으로 정의된 대칭 연산자를 허용하는 것.
• 특히 $π_{N}$ 이분극 대칭의 경우를 중심으로 행렬 곱 상태(MPS) 표현을 사용하여 파동함수의 대수적 구조를 특성화하며, 비자명한 코ycle 조건을 드러내는 것.
• 문자열 순서 매개변수를 구성하고 엔트로피 스펙트럼을 분석하여 위상적 순서를 탐색하고, 이분극 SPT와 기존의 $π_{N}$ 클러스터 상태를 구별하는 것.
• 대칭을 유지하는 외부 편향에 대한 수치적 안정성 분석을 수행하여 이분극 SPT 상의 안정성을 확인하는 것.
• 공간 격자 위의 피브어 백터 백에서 정의된 엄밀한 수학적 정의를 통해 _bundle 대칭_을 기술하며, 겹치는 패치에서 정의된 전이 연산자가 코ycle 조건을 만족하도록 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이분극, 이중극, 지수 함수 형태로 공간적으로 변조된 대칭의 생성자에 의해 보호되는 SPT 상이 존재할 수 있는가?
• RQ2 주기적 경계 조건 하에서 전역 대칭 연산자가 구성될 수 없는 시스템에서 위상적 순서는 어떻게 일관되게 정의될 수 있는가?
• RQ3 기존의 전역 대칭이 존재하지 않을 때 _bundle 대칭_이 변조된 SPT 상을 안정화시키는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 왜 변조된 SPT 상은 SPT 분류에 대한 표준 금지 정리에서 벗어나며, 그들의 MPS 기술에서 어떤 특이한 대수적 구조가 나타나는가?
• RQ5 이분극 SPT의 문자열 순서 매개변수, 에지 모드, 엔트로피 스펙트럼은 기존의 $π_{N}$ 클러스터 상태와 어떻게 다를까?

주요 결과

• 이분극 SPT 상은 외관상 유사하나, 어떤 유니터리 변환으로도 기존의 $π_{N}$ 클러스터 상태로 변환될 수 없으며, 위상적으로 다르게 분류됨을 입증함.
• 이분극 SPT에서의 문자열 순서 매개변수와 엔트로피 스펙트럼은 표준 $π_{N}$ 모델과는 다른 고유한 패tern을 보이며, 비자명한 위상적 순서를 확인함.
• 이분극 SPT 모델의 개방 체인에서는 분할된 에지 모드가 나타나며, 이는 위상적 보호의 존재를 시사함.
• 주기적 경계 조건 하에서 전역 대칭 연산자가 존재하지 않음에도 불구하고, 기저에 존재하는 _bundle 대칭_ 구조 덕분에 SPT 순서가 여전히 안정됨.
• 이분극 SPT 상의 MPS 표현은 비자명한 코ycle 조건을 포함하고 있어, 표준 분류 정리에서 벗어나는 특이한 대수적 구조를 나타냄.
• _bundle 대칭_ 프레임워크는 변조된 SPT 상을 정확하고 일반적으로 기술할 수 있으며, 겹치는 패치에서 정의된 전이 연산자가 코ycle 조건을 만족하고, 원과 같은 닫힌 다양체에서는 비자명한 범주가 발생함.