[논문 리뷰] Topological Quantum Field Theory, Nonlocal Operators, and Gapped Phases of Gauge Theories

Sergei Gukov, Anton Kapustin|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 17.

Physics of Superconductivity and Magnetism인용 수 63

한 줄 요약

이 논문은 윌슨-'트 호프 기준을 초월하여 4차원 게이지 이론에서 급격한 상을 분류하기 위해 비국소 연산자—특히 표면 연산자—를 사용하는 위상적 양자장이론(TQFT) 프레임워크를 제안한다. 아벨 및 비아벨 상에서 전하, 자성자 또는 이중형 조건을 가진 경우에 대해 TQFT를 구축하며, 이는 θ-각이 양자화됨을 보여주고, 비아벨 이론의 비가역 상은 비아贝尔 게르베를 포함하며, 라티스 형식은 자성자 스트림의 제약 조건을 통해 다양한 상을 실현한다.

ABSTRACT

We revisit the role of loop and surface operators as order parameters for gapped phases of four-dimensional gauge theories. We show that in some cases surface operators are confined, and that this fact can be used to distinguish phases which are not distinguished by the Wilson-'t Hooft criterion. The long-distance behavior of loop and surface operators which are neither confined nor screened is controlled by a 4d TQFT. We construct these TQFTs for phases which are characterized by the presence of electrically and/or magnetically charged condensates. Interestingly, the TQFT describing a phase with a nonabelian monopole condensate is based on the theory of nonabelian gerbes. We also show that in phases with a dyonic condensate the low-energy theta-angle is quantized.

연구 동기 및 목표

• 윌슨-'트 호프 기준이 특정 비가역 상과 힉스 상을 구분하지 못하는 바를 초월하여 4차원 게이지 이론의 급격한 상을 분류하기 위해.
• 루프 및 표면 연산자의 장거리 행동을 기반으로 한 TQFT 기술을 개발하여, 비가역적이지도, 스크리닝되지도 않는 연산자의 위상적 순서를 캡처하기 위해.
• 전기, 자성자 또는 이중형 조건을 가진 아벨 및 비아벨 상에 대해 명시적인 TQFT 작용을 구축하기 위해, 비아벨 자성자 조건을 포함하여.
• SU(N)/Z_N 게이지 이론의 저에너지 효과 이론이 자성자 조건의 전하가 생성하는 Z_N의 부분군에 민감한 TQFT임을 보여주기 위해.
• SU(N)/Z_N 게이지 이론의 다양한 상을 자성자 스트림에 대한 제약 조건을 통해 라티스 게이지 이론에서 실현하기 위해.

제안 방법

• 루프 및 표면 연산자를 순서 매개변수로 사용하여, 장거리 행동—특히 면적 법칙(가역) 대 둘레 법칙(비가역)—을 통해 상을 구분한다.
• 임의의 이중형 조건을 가진 아벨 상에 대해 TQFT를 구축하며, 위상적 제약 조건으로 인해 θ-각이 양자화됨을 보여준다.
• 비아벨 게이지 이론의 비가역 상을 기술하기 위해 비아벨 게르베를 적용하며, 2-연결의 곡률에 대한 제약 조건을 포함하는 TQFT 작용을 구성한다.
• 라티스 실현을 위해 SU(N) 링크 변수와 Z_N 값을 가진 플라켓 변수 w_P를 사용하는 빌라인 유사 형식을 사용하며, 이는 이산 1-형식 변환에 대한 게이지 불변성을 유지한다.
• 큐브에서 m_c = 1 또는 m_c^p = 1 조건을 통해 자성자 스트림에 대한 게이지 불변 제약 조건을 도입하여 SU(N)/Z_N의 다양한 커버를 표현한다.
• Z_N B-장과 SU(N) 게이지 이론 간의 결합을 기술하기 위해 교차 모듈러 t: Z_N → SU(N)를 사용하며, p=1일 땐 자명한 작용, p>1일 땐 비자명한 3형식 기하학을 가진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표면 연산자는 윌슨-'트 호프 기준으로는 구분되지 않는 4차원 게이지 이론의 급격한 상을 구분할 수 있는가?
• RQ2 이중형 조건을 가진 상을 기술하기 위해 TQFT를 어떻게 구성할 수 있으며, 이는 θ-각에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ3 비아贝尔 게르베는 비아벨 게이지 이론의 비가역 상을 기술하는 데 어떤 역할을 하는가? 아벨 이론의 힉스 상과의 관계는 무엇인가?
• RQ4 라티스 게이지 이론은 자성자 스트림에 대한 제약 조건을 통해 SU(N)/Z_N 게이지 이론의 다양한 상을 어떻게 실현할 수 있는가?
• RQ5 SU(N)/Z_N 양밀스 이론의 저에너지 TQFT 기술이 자성자 조건 전하가 생성하는 Z_N의 부분군에 의해 완전히 분류될 수 있는가?

주요 결과

• 이중형 조건이 있는 상에서는 θ-각이 양자화되며, 이는 TQFT 기술의 위상적 성질에 직접적인 결과이다.
• SU(N)/Z_N 게이지 이론에서 저에너지 TQFT는 자성자 조건 전하가 생성하는 Z_N의 부분군에 따라 달라지며, 이는 N의 약수에 해당하는 서로 다른 상을 의미한다.
• 비아벨 게이지 이론의 비가역 상은 비아벨 게르베 TQFT로 기술되며, 이는 아벨 비틀림 게이지 군을 가진 힉스 TQFT와 동치이다.
• SU(N)/Z_N 게이지 이론의 라티스 형식은 자성자 스트림에 대한 제약 조건을 통해 다양한 상을 실현할 수 있다: m_c = 1 (일반 커버), m_c^p = 1 (p-약수 커버), 또는 제약 없음 (자명한 커버).
• 모든 자성자가 조건화된 상의 TQFT는 자명한 커버 SU(N)/Z_N → SU(N)/Z_N에 대응하며, 자명한 스트림만 조건화된 상은 일반 커버 SU(N) → SU(N)/Z_N에 대응한다.
• Z_N 값을 가진 B-장(플라켓 변수 w_P를 통해)이 SU(N) 라티스 게이지 이론과 결합되면 저에너지에서 SU(N)/Z_N 게이지 이론이 실현되며, 이 TQFT 작용은 연속체 근사에서 ∫|Tr F - t(B)|²와 유사하다.