[논문 리뷰] Topological recursive relations in $H^{2g}(M_{g,n})$

Eleny-Nicoleta Ionel|ArXiv.org|1999. 08. 13.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 9인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 $g \geq 2$ 인 경우 $H^{2g}({\cal M}_{g,n})$ 에서 차수 $g$ 이상의 내림차수 또는 타우토로지 클래스의 단항식이 모두 영이 됨을 증명한다. 이는 루이앙가의 결과를 일반화하며, 게츠러의 추측의 한 형태를 확인한다. 증명은 $\mathbb{P}^1$ 상에서 두 점에 대한 상대 그로모프-위튼 인바리언트, 분해 공식, 그리고 2점 램프리케이션 사이클의 구조를 사용하여 이러한 클래스가 최대 차원 $g$ 이하의 사이클의 선형 조합임을 보이며, 이 사이클들은 차원이 정확히 $g$일 때 열린 모듈리 공간에서 영이 됨을 보인다.

ABSTRACT

We show that any degree at least $g$ polynomial in descendant or tautological classes vanishes on $M_{g,n}$ when $g\ge 2$. This generalizes a result of Looijenga and proves a version of Getzler's conjecture. The method we use is the study of the relative Gromov-Witten invariants of $P^1$ relative 2 points combined with the degeneration formulas of [IP1]. At the end of the paper, we also included a quick proof of a very recent conjecture made by Vakil.

연구 동기 및 목표

• 차수 $g \geq 2$ 인 $\mathcal{M}_{g,n}$ 에서 타우토로지 클래스의 내림차수 결과를 차우 군에서의 결과로 일반화한다.
• 내림차수 및 타우토로지 클래스에 대한 위상적 재귀관계(TRR)에 대한 게츠러의 추측의 코homological 형태를 증명한다.
• 모든 $\psi_i$ 및 $\kappa_a$ 클래스의 차수 $m$ 단항식의 피카르 듀얼이 일반화된 2점 램프리케이션 사이클의 선형 조합으로 표현될 수 있음을 확립한다.
• 차원이 정확히 $g$ 인 이러한 사이클이 $\mathcal{M}_{g,n}$ 에서 영이 됨을 보이며, 이는 주요 영성 정리로 이어진다.

제안 방법

• $\mathbb{P}^1$ 상에서 두 점에 대한 상대 그로모프-위튼 이론을 사용하여 고정된 램프리케이션을 가진 안정적인 상대 사상의 모듈리 공간 $\overline{{\cal Y}}_{d,g,n}$ 을 구성한다.
• 분해 공식([IP1]에서 유래)을 적용하여 도메인 모듈리 공간 $\overline{{\cal M}}_{g,n}$ 의 코homology 클래스를 타겟 공간 $\overline{{\cal M}}_{0,k}$ 로의 프로젝션과 연결한다.
• 피카르 듀얼리티와 $\overline{{\cal Y}}_{d,g,n}$ 상의 기본 클래스의 존재를 바탕으로 $\overline{{\cal M}}_{g,n}$ 에서 사이클 클래스를 정의한다.
• 정규화 사상 $st: \overline{{\cal Y}}_{d,g,n} \to \overline{{\cal M}}_{g,n}$ 과 忽지 사상 $q$ 를 사용하여 $\overline{{\cal M}}_{0,k}$ 에서 알려진 관계를 당겨온다.
• 귀납법과 경계 스트라타 분석을 적용하여 차원 $g$ 의 2점 램프리케이션 사이클이 $\mathcal{M}_{g,n}$ 에서 영이 됨을 보이며, 주요 영성 결과를 증명한다.
• 모든 $\psi$ 및 $\kappa$ 클래스의 차수 $m$ 단항식의 피카르 듀얼이 2점 램프리케이션 사이클의 생성하는 부분환에 속함을 보이며, 이 사이클들은 낮은 차원 스트라타에서의 부착 사상으로 표현 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 내림차수 또는 타우토로지 클래스의 차수 $g$ 이상의 단항식이 $g \geq 2$ 인 경우 $H^{2g}(\mathcal{M}_{g,n}, \mathbb{Q})$ 에서 영이 되는가?
• RQ2 상대 그로모프-위튼 인바리언트의 분해 공식이 $\mathcal{M}_{g,n}$ 에서의 코homological 영성 결과를 증명하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 $H^*(\mathcal{M}_{g,n}, \mathbb{Q})$ 의 부분환 중 2점 램프리케이션 사이클이 생성하는 부분환이 모든 고차수 타우토로지 클래스를 표현하는 데 충분한가?
• RQ4 차원이 정확히 $g$ 인 일반화된 2점 램프리케이션 사이클이 열린 모듈리 공간 $\mathcal{M}_{g,n}$ 에서 영이 되는가?
• RQ5 모든 $\psi$ 및 $\kappa$ 클래스의 차수 $m$ 단항식의 피카르 듀얼이 최소 $m+1-g$ 개의 종수 0 성분을 가진 스트라타에서의 사이클들의 선형 조합으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 차수 $g \geq 2$ 인 경우 $H^{2g}(\mathcal{M}_{g,n}, \mathbb{Q})$ 에서 내림차수 또는 타우토로지 클래스의 총 차수가 $g$ 이상인 모든 곱은 영이 되며, 이는 게츠러의 추측의 코homological 형태를 확인한다.
• 모든 $\psi_i$ 및 $\kappa_a$ 클래스의 차수 $m$ 단항식의 피카르 듀얼은 차원 $m$ 의 일반화된 2점 램프리케이션 사이클의 선형 조합으로 표현된다.
• 차원 $g$ 의 일반화된 2점 램프리케이션 사이클은 $\mathcal{M}_{g,n}$ 에서 영이 되며, 이는 주요 영성 정리를 이끈다.
• 모든 $\psi$ 및 $\kappa$ 클래스의 차수 $m$ 단항식의 피카르 듀얼은 2점 램프리케이션 사이클과 그들의 경계 부착 사상에 의한 당겨옴으로서 생성되는 부분환에 속한다.
• 모든 이러한 사이클의 부착 사상의 도메인에서 종수 0 성분의 수는 최소 $m+1-g$ 개 이상이며, 이는 클래스를 지지하는 스트라타의 복잡도를 제한한다.
• 증명은 이러한 모든 관계가 대수적 성격을 지닌다는 것을 보이며, 분해 공식의 대수적 기하학적 증명이 가능하면 영성 결과가 차우 링으로까지 확장된다.