[논문 리뷰] Topological simplicity, commensurator super-rigidity and non-linearities of Kac-Moody groups

Bertrand Rémy, Patrick Bonvin|arXiv (Cornell University)|2003. 02. 10.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 오른쪽-모서리 Fuchsian 빌딩을 가진 유한체 위의 특정 가산 Kac-Moody 군들이 어떤 체 위에서도 선형이 아니라는 것을 증명한다. 이는 공명기 초강성 정리와 평행 부분군의 역학적 특성화를 이용한 것이다. 또한 위상적 Kac-Moody 군들이 위상적으로 단순한 군들의 곱임을 보이며, Iwahori 부분군이 pro-p Sylow 부분군을 정규화한다는 것을 보여, 국소체 위의 단순군들과의 유사성을 강화한다.

ABSTRACT

We provide new arguments to see topological Kac-Moody groups as generalized semisimple groups over local fields: they are products of topologically simple groups and their Iwahori subgroups are the normalizers of the pro-p Sylow subgroups. We use a dynamical characterization of parabolic subgroups to prove that some countable Kac-Moody groups with Fuchsian buildings are not linear. We show for this that the linearity of a countable Kac-Moody group implies the existence of a closed embedding of the corresponding topological group in a non-Archimedean simple Lie group, thanks to a commensurator super-rigidity theorem proved in the Appendix by P. Bonvin.

연구 동기 및 목표

• 유한체 위의 특정 가산 Kac-Moody 군들이 동일 특성의 체 위에서도 선형이 아니라는 것을 증명하는 것, 특히 동일 특성의 체를 포함하여.
• 위상적 Kac-Moody 군과 양성 특성의 국소체 위의 단순군 간의 구조적 유사성을 확립하는 것.
• 위상적 Kac-Moody 군에서 Iwahori 부분군이 pro-p Sylow 부분군의 정규화자임을 보여주는 것.
• 그들의 빌딩에서의 작용을 바탕으로 평행 부분군의 역학적 특성화를 제공하는 것.
• 초강성에 의해 추상군 준동형을 비아르키메데스 단순 리군으로의 연속 준동형으로 확장하는 것.

제안 방법

• P. Bonvin이 부록에서 증명한 공명기 초강성 정리를 사용하여 추상군 준동형을 비아르키메데스 단순 리군으로의 연속 준동형으로 올리는 데 사용한다.
• 특히 목표 군의 동차 공간으로의 Γ-준동형 가측 경계 맵의 존재를 활용한 동역학계 기법을 적용한다.
• 정교한 Tits 체계 이론과 평행 부분군의 가상 pro-p 성질을 활용하여 위상적 Kac-Moody 군의 구조를 분석한다.
• 군의 브라하트-티츠 빌딩의 곱 위에서의 작용을 이용하여 격자 성질과 산술성을 도출한다.
• 에르고딕 이론과 자리스키 폐쇄 추론을 적용하여 경계 맵이 본질적으로 상수값을 가지지 않음을 보여, 이미지의 비자명성을 유도한다.
• 존의 보조정리와 대수적 부분군의 내림 사슬 조건을 사용하여 경계 공간에서 동차 공간으로의 Λ-준동형 가측 사상을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오른쪽-모서리 Fuchsian 빌딩을 가진 가산 Kac-Moody 군들이 동일 특성의 체를 포함하여 어떤 체 위에서도 선형일 수 있는가?
• RQ2 위상적 Kac-Moody 군의 구조는 양성 특성의 국소체 위의 단순군의 일반화로 이해될 수 있는가?
• RQ3 위상적 Kac-Moody 군에서 Iwahori 부분군은 pro-p Sylow 부분군의 정규화자로 특성화되는가?
• RQ4 연속적 확장이 존재하는 선형 표현은 군이 비아르키메데스 단순 리군에 닫힌 매장이 있음을 의미하는가?
• RQ5 빌딩에서의 군 작용의 동역학적 성질을 사용하여 비선형성을 탐지할 수 있는가?

주요 결과

• 이 논문은 각 소수 p에 대해 특성 p를 가진 유한체 위의 무한히 많은 가산 Kac-Moody 군들이 어떤 체 위에서도 선형이 아니라는 것을 증명한다.
• 유한체 위의 위상적 Kac-Moody 군들은 다이그램의 연결 성분 각각에 대응하는 위상적으로 단순한 군들의 직접곱임을 보였다.
• 위상적 Kac-Moody 군에서 Iwahori 부분군은 정확히 pro-p Sylow 부분군의 정규화자이다.
• 가산 Kac-Moody 군의 선형성은 공명기 초강성에 의해 비아르키메데스 단순 리군으로의 닫힌 매장이 존재함을 의미한다.
• 경계 맵에 의한 평행 부분군의 역학적 특성화는 선형 경우에서 모순을 일으켜 비선형성을 증명한다.
• Furstenberg 경계에서 유리 표현의 그라스만이에 대한 경계 맵은 본질적으로 상수값이 아니며, 이는 이미지가 자리스키-조밀하고 비자명하다는 것을 의미한다.