[논문 리뷰] Topological Transformation Monoids

Zachary Mesyan, James D. Mitchell외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 12.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 무한 집합 $\Omega$ 의 전체 전단사 모노이드 $\Omega^\Omega$ 에 대한 준군 위상에 대해 연구하며, 점별 위상이 $\Omega$ 가 가산일 때 유일한 폴란드 준군 위상이자 가장 약한 하우스도르프 준군 위상임을 규명한다. 또한 $|\Omega|$ 가 비가산 코finality를 가질 경우, $\Omega^\Omega$ 에는 국소적으로 컴팩트하고 완전한 하우스도르프 준군 위상이 존재하지 않음을 보인다.

ABSTRACT

We investigate semigroup topologies on the full transformation monoid T(X) of an infinite set X. We show that the standard pointwise topology is the weakest Hausdorff semigroup topology on T(X), show that the pointwise topology is the unique Hausdorff semigroup topology on T(X) that induces the pointwise topology on the group of all permutations of X, and construct |X| distinct Hausdorff semigroup topologies on T(X). In the case where X is countable, we prove that the pointwise topology is the only Polish semigroup topology on T(X). We also show that every separable semigroup topology on T(X) is perfect, describe the compact sets in an arbitrary Hausdorff semigroup topology on T(X), and show that there are no locally compact perfect Hausdorff semigroup topologies on T(X) when |X| has uncountable cofinality.

연구 동기 및 목표

• 무한 집합 $\Omega$ 에 대해 전체 전단사 모노이드 $\Omega^\Omega$ 에 대한 가장 약한 하우스도르프 준군 위상 구하기.
• 점별 위상이 대칭군 $\mathrm{Sym}(\Omega)$ 에서 점별 위상을 유도하는 유일한 준군 위상임을 특성화하기.
• $\Omega^\Omega$ 에 대한 폴란드, 분리 가능, 국소적으로 컴팩트한 준군 위상의 존재성과 구조 연구하기.
• 하우스도르프 준군 위상에서 컴팩트 집합과 완전성, 코finality 제약 조건 등의 위상적 성질 분석하기.

제안 방법

• 대칭군에 대한 Gaughan 결과의 일반화를 통해 점별 위상이 $\Omega^\Omega$ 에서 가장 약한 $T_1$ (따라서 하우스도르프) 준군 위상임을 증명하기.
• 모든 $T_1$ 준군 위상이 점별 위상을 포함해야 하므로, 기존의 위상적 성질과의 비교 가능성을 확보하기.
• 칸토어-벤딕슨 정리와 코finality 추론을 적용하여 $T_1$ 준군 위상에서의 컴팩트성과 국소 컴팩트성 분석하기.
• 완전한 $T_1$ 위상에서, 컴팩트 집합 $X$ 에 대해 이미지 집합 $\Sigma_\alpha = (\alpha)X$ 는 유한해야 하며, 이는 비가산 코finality 조건 하에서 모순을 유도함.
• 특정 위상적 구성 방법을 통해 $|\Omega|$ 개의 서로 다른 하우스도르프 준군 위상 $\Omega^\Omega$ 에 정의하기.
• 준위상군의 구조와 조밀하지 않은 집합의 성질을 이용하여 컴팩트 집합과 위상 기저에 대한 제약 조건 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점별 위상은 $\Omega^\Omega$ 에서 가장 약한 하우스도르프 준군 위상인가?
• RQ2 점별 위상은 $\mathrm{Sym}(\Omega)$ 에서 점별 위상을 유도하는 $\Omega^\Omega$ 의 유일한 하우스도르프 준군 위상인가?
• RQ3 $\Omega$ 가 가산일 경우, 점별 위상 이외에 $\Omega^\Omega$ 가 폴란드 준군 위상 구조를 가질 수 있는가?
• RQ4 $|\Omega|$ 가 비가산 코finality를 가질 경우, $\Omega^\Omega$ 에는 국소적으로 컴팩트하고 완전한 하우스도르프 준군 위상이 존재할 수 있는가?
• RQ5 임의의 하우스도르프 준군 위상에서 $\Omega^\Omega$ 의 컴팩트 집합에 대한 구조적 제약 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 점별 위상은 $\Omega^\Omega$ 에서 가장 약한 $T_1$ (따라서 하우스도르프) 준군 위상이며, 랭크 1과 2를 가진 원소를 포함하는 임의의 부분준군에서도 성립한다.
• 점별 위상은 $\mathrm{Sym}(\Omega)$ 에서 점별 위상을 유도하는 $\Omega^\Omega$ 에서의 유일한 $T_1$ 준군 위상이며, 대칭군에 대한 Gaughan 결과의 일반화이다.
• $\Omega$ 가 가산일 경우, 점별 위상은 $\Omega^\Omega$ 에서의 유일한 폴란드 준군 위상이므로 폴란드 위상의 유일성이 보장된다.
• $\Omega^\Omega$ 에서의 모든 분리 가능한 준군 위상은 완전하다. 즉, 비어있지 않은 열린 집합의 폐포는 항상 내부를 가진다.
• 모든 하우스도르프 준군 위상에서 컴팩트 집합은 닫혀 있으며, 모든 $\alpha \in \Omega$ 에 대해 $|\alpha X| < \aleph_0$ 를 만족한다. 즉, 각 점은 집합의 작용으로 유한한 이미지를 가진다.
• $|\Omega|$ 가 비가산 코finality를 가질 경우, $\Omega^\Omega$ 에는 국소적으로 컴팩트하고 완전한 하우스도르프 준군 위상이 존재하지 않으며, 이미지 집합과 코finality 제약 조건에 기반한 모순으로 이를 증명할 수 있다.