[논문 리뷰] Topological transitions in Ising models

Somenath Jalal, Rishabh Khare외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 31.

Quantum many-body systems인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 1차원 횡방향자기장 이징모형(TFIM)의 보편적인 효과 해밀토니안을 통해 다양한 차원에서의 임계 이징모형 간의 허모닉 연결을 수립하며, 임계점에서 페르미면 위상수학적 변화와 위상수학적 양자수 이동(예: 초전도체 수)을 특징으로 하는 리프시츠 전이를 갖는다는 것을 드러낸다. 이 전이는 툴라스 전하 펌프링을 통해 탐지되며, 임계점에서의 탄생한 SU(2) 대칭성과 위상수학적 불변량을 통해 기존의 진지-울라인드-윌슨 프레임워크를 초월하여 고전적, 양자적, 격자 gauge 이론까지 포함한다.

ABSTRACT

The thermal dynamics of the two-dimensional Ising model and quantum dynamics of the one-dimensional transverse-field Ising model (TFIM) are mapped to one another through the transfer-matrix formalism. We show that the fermionised TFIM undergoes a Fermi-surface topology-changing Lifshitz transition at its critical point. We identify the degree of freedom which tracks the Lifshitz transition via changes in topological quantum numbers (e.g., Chern number, Berry phase etc.). An emergent $SU(2)$ symmetry at criticality is observed to lead to a topological quantum number different from that which characterises the ordered phase. The topological transition is also understood via a spectral flow thought-experiment in a Thouless charge pump, revealing the bulk-boundary correspondence across the transition. The duality property of the phases and their entanglement content are studied, revealing a holographic relation with the entanglement at criticality. The effects of a non-zero longitudinal field and interactions that scatter across the singular Fermi surface are treated within the renormalisation group (RG) formalism. The analysis reveals that the critical point of the 1D TFIM and the 1D spin-1/2 Heisenberg chain are connected via a line of $SU(2)$-symmetric theories. We extend our analysis to show that the classical to quantum correspondence links the critical theories of Ising models in various dimensions holographically through the universal effective Hamiltonian that describes the Lifshitz transition of the 1D TFIM. We obtain in this way a unified perspective of transitions in Ising models that lie beyond the traditional Ginzburg-Landau-Wilson paradigm. We discuss the consequences of our results for similar topological transitions observed in classical spin models, topological insulators, superconductors and lattice gauge-field theories which are related to the Ising universality class.

연구 동기 및 목표

• 진지-울라인드-윌슨 프레임워크를 초월한 이징모형의 상전이를 위한 통합적 프레임워크 수립.
• 스펙트럼 플로우와 위상수학적 불변량(예: 초전도체 수)을 통한 1차원 횡방향자기장 이징모형(TFIM)의 위상수학적 전이 식별.
• 1차원 TFIM의 보편적 효과 해밀토니안을 통해 1D, 2D, 3D 이징모형의 임계이론 간의 허모닉 등가성 증명.
• 임계점에서의 탄생한 SU(2) 대칭성과 위상수학적 오더(양자 얽힘 및 dual 성질 포함)의 역할 탐색.
• 결과를 고전적 이징모형, 위상수학적 절연체, 격자 gauge 이론으로 확장하여 공통의 위상수학적 특징 드러내기.

제안 방법

• 전이행렬 형식을 사용하여 2차원 고전적 이징모형을 1차원 양자 TFIM으로 매핑.
• 1차원 TFIM을 페르미온화하여 질량이 있는 디랙 페르미온 기술을 드러내고 임계점에서의 페르미면 위상수학적 변화 식별.
• 두 개의 토러스 위에서 아디아바틱 전하 펌프링을 적용하여 부면-경계 상응성과 이국적인 전하 운반 특성 탐색.
• 군속화 그룹(RG) 형식을 사용하여 종방향 필드의 영향과 특이한 페르미면에서의 산란 효과 분석.
• 위상수학적 불변량인 초전도체 수와 베리 위상 등을 통해 페르미온 스펙트럼 내 리프시츠 전이의 지표로 활용.
• 1차원 TFIM의 보편적 효과 해밀토니안을 통해 1D, 2D, 3D 이징모형의 임계이론 간의 허모닉 관계 수립.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차원 횡방향자기장 이징모형의 임계점에서 페르미면 위상수학적 변화를 겪는 리프시츠 전이가 어떻게 발생하는가?
• RQ2 어떤 위상수학적 양자수(예: 초전도체 수, 베리 위상)가 전이를 신호로 하며, 이는 순서된 상태와 임계 상태에서 어떻게 다를까?
• RQ3 임계점에서의 탄생한 SU(2) 대칭성이 순서된 상태와 다른 위상수학적 불변량을 유도하는 이유는 무엇인가?
• RQ4 툴라스 전하 펌프링은 리프시츠 전이를 넘어서 부면-경계 상응성을 어떻게 드러내는가?
• RQ5 1차원 TFIM의 보편적 효과 해밀토니안을 통해 다양한 차원의 이징모형 임계이론 간의 허모닉 관계는 어떻게 수립되는가?

주요 결과

• 1차원 TFIM은 페르미온화된 기술에서의 페르미면 위상수학적 변화로 특징지어지는 리프시츠 전이를 임계점에서 겪는다.
• 전이의 징후로 위상수학적 양자수의 변화가 관찰되며, 임계점에서 비영인 초전도체 수가 관측되어 순서된 상태와 다름을 보인다.
• 임계점에서의 탄생한 SU(2) 대칭성은 순서된 상태와 다른 위상수학적 불변량을 유도하며, 새로운 보편성 클래스를 나타낸다.
• 툴라스 전하 펌프링은 전이를 넘어서 부면-경계 상응성을 드러내며, 초전도체 수와 연결된 양자화된 전하 운반을 보여준다.
• 1차원 TFIM의 임계이론은 2차원 TFIM, 3차원 이징모형, 2차원 양자 이징 격자 게이지 이론과 보편적 효과 해밀토니안을 통해 허모닉으로 연결된다.
• 2차원 TFIM은 위상수학적 및 비위상수학적 초전도체 상태 사이의 와이울-세미메탈 리프시츠 전이를 포함하며, 또한 갭이 없는 와이울 스트립 금속 상태를 포함하는 두 개의 위상수학적 초전도체 상태 사이의 전이도 수반한다.