[논문 리뷰] Topologically Distinct Lagrangian and Symplectic Fillings

Chang Cao, Nathaniel Gallup외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 30.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 45인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $S^3$ 내에서 임의의 수의 위상적으로 서로 다른 정확한 라그랑주 링크를 가진 무한히 많은 레지언드르 링크를 구성하며, 이러한 링크의 위상적 성질이 투르스톤-벤니킨 불변량에 의해 유일하게 결정되지 않음을 보여준다. 라그랑주 핸들 부착, 스피닝 구조, 분지 덮개의 조합을 통해 저자들은 새로운 심플렉틱 링크를 구축하고, 고차원에서의 레지언드르 부분다양체가 임의로 큰 체카노프 또는 생성 가족 호몰로지 불변량을 가질 수 있음을 증명한다.

ABSTRACT

We construct infinitely many Legendrian links in the standard contact $\mathbb{R}^3$ with arbitrarily many topologically distinct Lagrangian fillings. The construction is used to find links in $S^3$ that bound topologically distinct pieces of algebraic curves in $B^4 \subset \mathbb{C}^2$, is applied to find contact 3-manifolds with topologically distinct symplectic fillings, and is generalized to higher dimensions.

연구 동기 및 목표

• 레지언드르 링크의 라그랑주 링크의 위상이 투르스톤-벤니킨 불변량에 의해 유일하게 결정되지 않는다는 것을 보여주며, 찬트라인의 정리의 자연스러운 확장과 모순된다.
• 보일로와 퓌리에의 질문을 해결한다: $S^3$ 내에 존재하는 링크 중, $\mathbb{C}^2$ 내에서 위상적으로 서로 다른 대수적 곡선을 경계로 하는 링크가 존재하는가?
• 동일한 오일러 지표를 가짐에도 불구하고 위상적으로 서로 다른 강한 심플렉틱 링크를 가진 접촉 3-다양체를 구성한다.
• 이를 고차원 레지언드르 부분다양체로 확장하여, 임의로 큰 체카노프 또는 생성 가족 호몰로지 불변량을 가진다.

제안 방법

• 심플렉틱 링크 내에서 반복적인 핸들 부착과 위상변형을 통해 $S^3$ 내의 레지언드르 링크 $\Lambda_N$를 구성한다. 이 링크는 $N$개의 위상적으로 서로 다른 정확한 라그랑주 링크를 가진다.
• 쿠니츠 정리와 호몰로지 계산을 통해 링크의 첫 번째 호몰로지 계수가 다르다는 것을 보여, 위상적 구별성을 입증한다.
• 심플렉틱 링크 위에서 이중 분지 덮개 구조를 적용하여, 서로 다른 $H_3$-계수를 가진 전이 링크의 강한 심플렉틱 링크를 생성한다.
• 스피닝 구조를 활용하여 2차원 링크를 고차원 레지언드르 부분다양체로 승격시키며, 링크의 위상적 구별성을 유지한다.
• 생성 가족과 라그랑주 링크의 호환성을 이용하여, 서로 다른 링크가 서로 다른 생성 가족 호몰로지 불변량을 유도함을 보여준다.
• 논문 [5], [36], [39]의 결과를 활용하여 링크의 상대 코hom로지와 레지언드르 접촉 호몰로지 및 생성 가족 호몰로지의 불변량을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 oriented 레지언드르 링크의 라그랑주 링크의 위상은 $S^3$ 내에서 투르스톤-벤니킨 불변량에 의해 완전히 결정되는가?
• RQ2 다음 조건을 만족하는 링크가 $S^3$ 내에 존재하는가? 즉, $B^4$ 와 횡단으로 만나는 $\mathbb{C}^2$ 내의 위상적으로 서로 다른 복소대수 곡선을 경계로 하는가?
• RQ3 접촉 3-다양체는 동일한 오일러 지표를 가짐에도 불구하고 위상적으로 서로 다른 강한 심플렉틱 링크를 가질 수 있는가?
• RQ4 고차원에서의 레지언드르 부분다양체는 임의로 큰 체카노프 또는 생성 가족 호몰로지 불변량을 가질 수 있는가?

주요 결과

• 모든 정수 $N>1$ 에 대해, $(S^3, \xi_0)$ 내에 존재하는 레지언드르 링크 $\Lambda$ 가 있으며, 이 링크는 $p(N)$ 개의 위상적으로 서로 다른 정확한 옹호 라그랑주 링크를 가진다.
• 이 링크들은 서로 다른 첫 번째 베티 수를 가진다: $\operatorname{rank}H_1(L_k) = 2k$ 이며, 이는 위상적 구별성을 증명한다.
• 이 구성은 $S^3$ 내에 존재하는 링크를 제공하며, 이 링크는 $\mathbb{C}^2$ 내에 존재하는 $p(N)$ 개의 비특이 복소대수 곡선을 경계로 하며, 이 곡선들이 $B^4$ 와 만나는 부분이 서로 위상적으로 서로 다르다.
• 오일러 지표는 동일하지만 $\operatorname{rank}H_3(X_k, Y) = k-1$ 인 $N$ 개의 강한 심플렉틱 링크를 가진 접촉 3-다양체가 존재한다. 이는 심플렉틱 블로우업에 의해 연결되지 않음을 보여준다.
• 모든 $n>1$ 과 $N>1$ 에 대해, $(S^{2n+1}, \xi_0)$ 내에 존재하는 연결된 레지언드르 부분다양체가 있으며, 이는 $N$ 개의 위상적으로 서로 다른 연결된 정확한 라그랑주 링크를 가진다.
• 레지언드르 부분다양체의 체카노프 수와 GF 수는 임의로 크게 만들 수 있으며, 이는 호환 가능한 링크와 생성 가족을 통해 구성된 예시들이다.