[논문 리뷰] Topologies of Stochastic Markov Models: Computational Aspects

Giorgio Bacci, Giovanni Bacci외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 24.

Formal Methods in Verification참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 메트릭 시간 논리(MTL) 또는 결정적 타이밍 아우토마타(DTA)로 표현된 선형 실시간 사양에 대해 이산적 실시간 시스템의 이질성 정도를 측정하기 위해 스토하스틱 마르코프 모델(SMMs)에 대해 두 가지 행동 거리(behavioral distances)를 제안한다. 정확한 변동 거리의 계산이 NP-난이도임을 증명하지만, 약간의 분포 가정 하에 다항 시간 내에 계산 가능한 코란토풀레프 기반 초과 근사치를 제안함으로써 효율적인 근사 모델 체크를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we propose two behavioral distances that support approximate reasoning on Stochastic Markov Models (SMMs), that are continuous-time stochastic transition systems where the residence time on each state is described by a generic probability measure on the positive real line. In particular, we study the problem of measuring the behavioral dissimilarity of two SMMs against linear real-time specifications expressed as Metric Temporal Logic (MTL) formulas or Deterministic Timed-Automata (DTA). The most natural choice for such a distance is the one that measures the maximal difference that can be observed comparing two SMMs with respect to their probability of satisfying an arbitrary specification. We show that computing this metric is NP-hard. In addition, we show that any algorithm that approximates the distance within a certain absolute error, depending on the size of the SMMs, is NP-hard. Nevertheless, we introduce an alternative distance, based on the Kantorovich metric, that is an over-approximation of the former and we show that, under mild assumptions on the residence time distributions, it can be computed in polynomial time.

연구 동기 및 목표

• 실시간 사양을 충족하는 근사 추론을 지원하는 연속시간 스토하스틱 시스템을 위한 행동 메트릭을 정의하는 것.
• MTL 및 DTA 사양에 대해 SMMs에서 행동 이질성 측정의 계산 복잡도를 분석하는 것.
• 정확한 변동 거리의 다항 시간 내 계산 가능한 다항 시간 근사치를 개발하는 것.
• 1-RDTA 사양을 사용한 모델 체크 결과 근사화의 이론적 기초를 확립하는 것.
• 이산 시간 마르코프 체인에서의 고정점 및 선형 프로그래밍 기법을 연속시간 SMMs로 확장하는 것.

제안 방법

• 양의 실수선 상에서 일반적인 체류 시간 분포를 갖는 스토하스틱 마르코프 모델(SMMs)을 도입하여 CTMCs와 이산 시간 MCs를 일반화하는 것.
• 모든 선형 실시간 사양에 대해 만족 확률의 최대 차이를 측정하는 두 가지 의사거리(비율거리)—MTL 및 DTA 변동 거리—를 정의하는 것.
• 정확한 변동 거리가 MTL 및 DTA 사양에서 동일하며, 1-RDTA 사양에 의해 완전히 특징지어진다는 것을 증명하는 것.
• 정확한 변동 거리의 초과 근사치로 코란토풀레프 기반 고정점 거리를 제안하는 것.
• 코란토풀레프 거리 계산 문제를 타원체 방법을 통해 다항 시간 내의 분리 오рак루를 갖는 선형 프로그램으로 환원하는 것.
• 코란토풀레프 공식화에서 최적의 쌍을 효율적으로 계산하기 위해 운반 다각체와 정점 열거 기법을 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SMMs 간의 정확한 행동 변동 거리 계산은 NP-난이도인가?
• RQ2 고정된 절대 오차 내에서 변동 거리를 다항 시간 내에 근사할 수 있는가?
• RQ3 코란토풀레프 기반 거리는 정확한 변동 거리의 다항 시간 내 계산 가능한 초과 근사치인가?
• RQ4 1-RDTA 사양은 MTL 또는 DTA 사양에 의해 생성된 시그마 대칭에서 임의의 가측 경로 집합을 근사할 수 있는가?
• RQ5 어떤 분포 가정 하에 코란토풀레프 거리를 다항 시간 내에 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 정확한 MTL 및 DTA 변동 거리는 최대 클리크 문제(Min Clique)로의 환원을 통해 고정된 절대 오차 내에서도 NP-난이도로 계산 가능하다.
• MTL 및 DTA 사양에 대해 변동 거리가 동일하며, 이는 1-RDTA 사양에 의해 완전히 결정되며, 생성된 시그마 대칭에서 조밀하게 분포되어 있다.
• 코란토풀레프 기반 고정점 거리는 정확한 변동 거리의 초과 근사치이며, 타원체 방법을 통해 다항 시간 내에 계산 가능하다.
• 코란토풀레프 거리의 선형 프로그램 공식화는 운반 문제를 해결하는 데 기반한 다항 시간 분리 오라클을 갖는다.
• 체류 시간 분포에 대한 약간의 가정 하에, 이산 시간 MCs에서의 고정점 바이시밀리티 기법을 연속 시간 SMMs로 확장할 수 있다.
• 제안된 방법은 단일 클록 DTA에 대한 효율적 알고리즘을 활용하여 CTMCs에 대한 효율적 근사 모델 체크를 가능하게 한다.