[논문 리뷰] Topology and arithmetic of resultants, I: spaces of rational maps

Benson Farb, Jesse Wolfson|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 사영 공간 내의 degree-d 유리 곡선의 모듈리 공간과 유리 사상의 공간을 분석하여 위상수학, 수론,代數기하학 사이의 깊은 연결 고리를 확립한다. 에탈 코homology, 그로텐디크 링 계산, 초평면 배열의 조합적 위상수학을 사용하여, 특성 0에서 이 공간들의 모티브와 점 수가 일치하고, 그 ℓ-진 코homology 군들이 갈루아 표현으로서 동형임을 증명한다. 이는 세갈, 바실리에프, 코헨–코헨–만–밀그램의 고전적 위상수학 결과를 정밀화한다.

ABSTRACT

We consider the interplay of point counts, singular cohomology, étale cohomology, eigenvalues of the Frobenius and the Grothendieck ring of varieties for two families of varieties: spaces of rational maps and moduli spaces of marked, degree $d$ rational curves in $\mathbb{P}^n$. We deduce as special cases algebro-geometric and arithmetic refinements of topological computations of Segal, Cohen--Cohen--Mann--Milgram, Vassiliev and others.

연구 동기 및 목표

• 세 가지 시각, 즉 특이 코homology, 에탈 코homology, 유한체 위에서의 점 수를 통해 대수다양체에 관한 위상수학 정리들을 수론적 및 기하학적 불변량과 통합한다.
• 세갈, 코헨–코헨–만–밀그램, 바실리에프의 고전적 위상수학 계산을 대수기하학적 및 수론적 맥락으로 끌어올림으로써 이를 정밀화한다.
• 유리 사상의 공간과 유리 곡선의 모듈리 공간의 컴act support된 ℓ-진 코homology 사이에 정확한 동형을 확립하고, 이들이 동일한 갈루아 표현을 지닌다는 것을 보인다.
• 유한체 및 특성 0에서 P^n 내의 degree-d 유리 곡선의 모듈리 공간과 유리 사상의 공간의 모티브, 베텨 수, 점 수, 무게 필터링을 계산한다.

제안 방법

• 특성 0에서의 다양체의 그로텐디크 링을 사용하여 유리 사상 공간의 모티브를 계산하고, [Poly_d,m^n] = L^{dm} - L^{(d-n)m+1} 이라는 식을 도출한다.
• Björner–Ekedahl의 선형 부분공간 배열의 보완물의 ℓ-진 코homology 이론을 적용하여 에탈 코homology와 프로베니우스 고유값을 계산한다.
• 쿠른트 동형과 푸앵카레 dualit의 원리를 사용하여 구성 공간과 유리 사상의 피브리드 곱의 코homology를 분해한다.
• ℓ-진 코homology와 특이 코homology 사이의 비교 정리를 적용하여 복소수 위에서 수론적 자료와 위상수학 불변량을 연결한다.
• 구성 공간 내 진동선의 배열 조합론이 기저 체에 독립적이므로, 일관된 코homological 계산이 가능하다는 점을 활용한다.
• 세르 스펙트럴 시퀀스를 통한 재귀적 피브레이션 방법을 적용하여 C − {0,1} 위의 구성 공간의 베텨 수를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 특성을 가진 체 위에서, 유리 사상의 공간 Rat_d^* 와 공간 Poly_d(n+1),1^{n+1} 이 그로텐디크 다양체 링에서 동일한 모티브를 가지는가?
• RQ2 위상적 동치 외에, 유한체 위에서 Rat_d^* 와 Poly_d(n+1),1^{n+1} 의 ℓ-진 코homology 간 관찰된 동형에 대한 대수적 설명은 존재하는가?
• RQ3 C 위에서 Rat_d^* 와 Poly_d(n+1),1^{n+1} 사이의 위상적 호모토피 동치는 특성 0 또는 양의 특성에서 대수적 다양체의 동형으로 올라갈 수 있는가?
• RQ4 n ≥ 2일 때, 이들이 동형이 아닐 경우를 구분하는 불변량은 무엇인가?
• RQ5 유리 곡선의 모듈리 공간의 에탈 코homology에서 프로베니우스의 무게는 그 복소수 점의 위상수학과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 특성 0인 체 위에서의 다양체의 그로텐디크 링 내에서 Poly_d,m^n 의 모티브는 [Poly_d,m^n] = L^{dm} - L^{(d-n)m+1} 이다. 여기서 L 은 레프셰츠 모티브이다.
• 임의의 소수 거듭제곱 q 에 대해, Poly_d,m^n 의 F_q 점의 수는 |Poly_d,m^n(F_q)| = q^{dm} - q^{(d-n)m+1} 이다.
• Poly_d,m^n(C) 의 베텨 수는 b_0 = 1 이고 b_{2nm-3} = 1 이며, 나머지 모든 베텀 수는 0이다.
• 정수계수의 그라디에이티드 벡터 공간 간의 동형이 존재한다: H^*_c(Poly_d,m^n(C); C) ≅ H^*_et,c(Poly_d,m^n/F_q; Q_ℓ) ⊗_{Q_ℓ} C.
• 에탈 코homology 군들은 갈루아 표현을 지니며, 무게는 다음과 같다: H^i_et,c(Poly_d,m^n/F_q; Q_ℓ) 는 차수 2(d-n)m + 3 에서 Q_ℓ((n-d)m - 1) 이고, 차수 2dm 에서 Q_ℓ(-dm) 이다.
• m ≥ 3 일 때, 모듈리 공간 M^*_0,m(P^n,d) 는 PConf_{m-3}(A^1 - {0,1}) × Rat_d^*(P^1, P^n) 과 동형이며, 그로텐디크 링 내에서 그 모티브는 [PConf_{m-3}(A^1 - {0,1})] · [Rat_d^*(P^1, P^n)] 이다.