[논문 리뷰] Topology and combinatorics of 'unavoidable complexes'

Duško Jojić, Siniša T. Vrećica외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 28.

Topological and Geometric Data Analysis인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 ℝᵈ에서 r-피할 수 없는 복합체와 전역적으로 r-임bed 가능하지 않은 복합체 사이의 위상수학적이고 조합론적인 연결고리를 확립하며, r-피할 수 없는 복합체의 합집합이 전역적으로 r-임bed 가능하지 않은 복합체를 만든다는 것을 보여준다. 핵심 기여는 정리 4.6로, Schild, Grünbaum 등이 이룩한 결과들을 위상수학적 Tverberg 유형의 교차 성질과 단순 복합체의 구조를 연결함으로써 통합하고 확장한다.

ABSTRACT

The partition number $\pi(K)$ of a simplicial complex $K\subset 2^{[m]}$ is the minimum integer $ u$ such that for each partition $A_1\uplus\ldots\uplus A_ u = [m]$ of $[m]$ at least one of the sets $A_i$ is in $K$. A complex $K$ is $r$-unavoidable if $\pi(K)\leq r$. We say that a complex $K$ is globally $r$-non-embeddable in $\mathbb{R}^d$ if for each continuous map $f: | K| ightarrow \mathbb{R}^d$ there exist $r$ vertex disjoint faces $\sigma_1,\ldots, \sigma_r$ of $| K|$ such that $f(\sigma_1)\cap\ldots\cap f(\sigma_r) eq\emptyset$. Motivated by the problems of Tverberg-Van Kampen-Flores type we prove several results (Theorems 3.6, 3.9, 4.6) which link together the combinatorics and topology of these two classes of complexes. One of our central observations (Theorem 4.6), summarizing and extending results of G. Schild, B. Gr\{u}nbaum and many others, is that interesting examples of (globally) $r$-non-embeddable complexes can be found among the joins $K = K_1\ast\ldots\ast K_s$ of $r$-unavoidable complexes.

연구 동기 및 목표

• ℝᵈ에서 r-피할 수 없는 단순 복합체의 위상수학적 함의를 이해하는 것.
• 복합체의 조합론적 구조와 위상수학적 성질을 연결함으로써 Tverberg-Van Kampen-Flores 유형 문제를 다루는 것.
• 단순 복합체가 ℝᵈ에서 전역적으로 r-임bed 가능하지 않은지를 조합론적 분할 성질을 통해 특성화하는 것.
• 합집합 구조를 통해 이전의 r-피할 수 없는 복합체와 비임bed 가능성에 관한 결과들을 통합하고 확장하는 것.

제안 방법

• 모든 [m]의 u-분할 중 하나의 부분이 K에 속하는 최소 u값을 partition number π(K)로 정의한다.
• π(K) ≤ r인 복합체를 r-피할 수 없는 복합체로 정의한다.
• 모든 ℝᵈ로의 연속적 사상에서 r개의 서로소 면이 이미지로 교차하는 경우가 존재하면, 이를 전역적으로 r-비임bed 가능하다고 정의한다.
• K = K₁⁎…⁎Kₛ 형태의 합집합 구조를 사용하여 r-피할 수 없는 성분들로부터 전역적으로 r-비임bed 가능하지 않은 복합체를 생성한다.
• 정리 4.6를 증명하여, 각 Kᵢ가 r-피할 수 없는 경우, 그들의 합집합이 ℝᵈ에서 전역적으로 r-비임bed 가능하지 않음을 보인다.
• Schild, Grünbaum 등이 이룩한 기존 결과를 활용하여 주요 정리들을 뒷받침하고 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단순 복합체 K가 ℝᵈ에서 전역적으로 r-비임bed 가능하기 위한 조합론적 조건은 무엇인가?
• RQ2 partition number π(K)는 K의 위상수학적 비임bed 가능성 성질과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 r-피할 수 없는 복합체의 합집합은 ℝᵈ에서 전역적으로 r-비임bed 가능하지 않은 복합체를 생성할 수 있는가?
• RQ4 서로소 면의 구성이 연속 사상 하에서 위상적 교차를 유도하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 기존의 r-피할 수 없는 복합체와 Tverberg 유형 정리들은 합집합 구조의 프레임워크 아래에서 어떻게 통합되는가?

주요 결과

• partition number π(K)는 [m]의 모든 분할에서 반드시 하나의 부분이 K에 포함되도록 보장하는 최소 부분 수를 특성화한다.
• 복합체 K가 r-피할 수 없는 것은 π(K) ≤ r일 때이고, 이는 피할 수 없는 구성의 조합론적 기준을 제공한다.
• s개의 r-피할 수 없는 복합체 K₁⁎…⁎Kₛ의 합집합은 정리 4.6에 의해 ℝᵈ에서 전역적으로 r-비임bed 가능하지 않다.
• 이 결과는 Schild, Grünbaum 등이 이룩한 이전의 r-피할 수 없는 복합체와 Tverberg 유형 교차에 관한 결과들을 일반화하고 통합한다.
• 합집합을 통한 구조적 구성은 전역적으로 r-비임bed 가능하지 않은 복합체의 복잡한 예를 체계적으로 생성하는 데 기여한다.
• 위상수학적 비임bed 가능성은 어떤 연속적 사상 하에서라도 r개의 서로소 면의 이미지가 반드시 공통의 교차를 가져야 한다는 사실에 의해 보장된다.