[논문 리뷰] Topology Change in Classical General Relativity

Arvind Borde|ArXiv.org|1994. 06. 30.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 4인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 초기 시공간에서의 위상수학적 위상이 다른 끝 단계의 시공간으로 연결되는 인과적으로 밀도 있는 보간 시공간을 통해 고전 일반 상대성 이론에서 위상 변화를 분석함으로써 위상 변화를 조사한다. 비특이 띠에르만 계량을 가진 경우 위상 변화는 운동학적으로 가능하지만, 초기 또는 끝 단계의 표면이 연결되어 있지 않다면 인과성 위반이 발생하며, 3차원 이상의 차원에서는 물리적으로 타당한 소스를 가진 아인슈타인 방정식을 만족시키지 못함을 보여, 특이성이 존재하더라도 위상 변화에 대해 강력한 역학적 장벽이 존재함을 시사한다.

ABSTRACT

This paper clarifies some aspects of Lorentzian topology change, and it extends to a wider class of spacetimes previous results of Geroch and Tipler that show that topology change is only to be had at a price. The scenarios studied here are ones in which an initial spacelike surface is joined by a connected ``interpolating spacetime'' to a final spacelike surface, possibly of different topology. The interpolating spacetime is required to obey a condition called causal compactness, a condition satisfied in a very wide range of situations. No assumption is made about the dimension of spacetime. First, it is stressed that topology change is kinematically possible; i.e., if a field equation is not imposed, it is possible to construct topology-changing spacetimes with non-singular Lorentz metrics. Simple 2-dimensional examples of this are shown. Next, it is shown that there are problems in such spacetimes: Geroch's closed-universe argument is applied to causally compact spacetimes to show that even in this wider class of spacetimes there are causality violations associated with topology change. It follows from this result that there will be causality violations if the initial (or the final) surface is not connected, even when there is no topology change. Further, it is shown that in dimensions $\geq 3$ causally compact topology-changing spacetimes cannot satisfy Einstein's equation (with a reasonable source); i.e., there are severe dynamical obstructions to topology change. This result extends a previous one due to Tipler. Like Tipler's result, it makes no assumptions about geodesic completeness; i.e., it does not permit topology change even at the price of singularities (of the standard incomplete-geodesic variety). Brief discussions are also given of ways in which the results of this paper might be circumvented.

연구 동기 및 목표

• 인과성 또는 에너지 조건을 위반하지 않으면서 고전 일반 상대성 이론에서 위상 변화가 발생할 수 있는 조건을 명확히 하는 것.
• 지오데식 완비성 가정이 없는 일반적인 시공간의 범주로 지에로흐와 티플러의 인과성 및 역학적 장벽 결과를 확장하는 것.
• 특히 3차원 이상에서 물리적으로 타당한 소스를 가진 아인슈타인 방정식을 만족시키는 조건에서 위상 변화가 역학적으로 가능할 수 있는지 조사하는 것.
• 특이성이 존재하더라도 인과성과 기하학적 일관성을 유지하면서 위상 변화를 가능하게 하는 대체 메커니즘(예: 열화된 계량 또는 비분할 시공간)의 타당성을 평가하는 것.

제안 방법

• 초기 시공간에서의 비공간 초면이 연결된 인과적으로 밀도 있는 보간 시공간을 통해 끝 시공간의 비공간 초면으로 연결되도록 하는 프레임워크를 사용한다. 이는 위상 변화를 허용한다.
• 보간 시공간에 대해 인과적 밀도 조건을 도입하여, 인과적 곡선이 무한대로 빠져나가는 것을 방지하고 시공간의 구조가 잘 유지되도록 한다.
• 지에로흐의 폐쇄된 우주 논증을 인과적으로 밀도 있는 시공간에 적용하여, 초기 또는 끝 초면이 연결되어 있지 않다면 위상 변화가 인과성 위반을 초래함을 보여준다.
• 3차원 이상에서 아인슈타인 장 방정식을 분석하여, 인과적 밀도 조건을 만족하는 위상 변화 시공간이 물리적으로 타당한 소스(비음성 에너지 밀도)를 수용할 수 없음을 보여, 강력한 역학적 장벽이 있음을 밝힌다.
• 일부 점에서 열화된 계량을 允허하는 등의 대안적 접근법을 고려하고, 그들이 인과성 및 곡률 계산에 미치는 영향을 논의한다.
• 비지오데식 완비성, 등각 변환 또는 수정된 에너지 조건을 통한 장벽 회피 가능성은 평가되었지만, 이러한 길들은 충분하지 않거나 물리적으로 정당화되지 않음을 발견한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전 일반 상대성 이론에서 인과성을 위반하지 않고 위상 변화가 발생할 수 있는가? 어떤 조건에서 운동학적으로 가능한가?
• RQ2 위상 변화가 있는 인과적으로 밀도 있는 시공간은 특이성이 없더라도 인과성 위반을 초래하는가?
• RQ3 3차원 이상의 시공간에서 아인슈타인 방정식이 물리적으로 타당한 소스를 가진 채로 만족되지 못하는 역학적 장벽이 존재하는가?
• RQ4 열화된 계량 또는 비분할 시공간은 인과성 구조와 기하학적 일관성을 유지하면서 위상 변화를 가능하게 하는 타당한 메커니즘으로 작용할 수 있는가?
• RQ5 지에로흐와 티플러의 결과는 지오데식 완비성이 요구되지 않는 일반적인 시공간 범주로 얼마나 넓게 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 고전 일반 상대성 이론에서 위상 변화는 운동학적으로 가능하다: 비특이 띠에르만 계량은 초기와 끝 단계의 공간 위상 사이를 연결하는 시공간에서 구성될 수 있다.
• 초기 또는 끝 단계의 비공간 초면이 연결되어 있지 않다면, 인과적으로 밀도 있는 시공간에서 비록 위상 변화가 없더라도 인과성 위반이 발생한다.
• 3차원 이상에서 인과적으로 밀도 있는 위상 변화 시공간은 비음성 에너지 밀도를 만족하는 소스를 가진 아인슈타인 방정식을 만족시킬 수 없으며, 이는 강력한 역학적 장벽을 의미한다.
• 특이성이 표준적인 비지오데식 완비성의 의미에서 허용되더라도 이 역학적 장벽은 그대로 유지되며, 이는 특이성의 대가를 지불하더라도 위상 변화가 금지됨을 의미한다.
• 곡률 또는 에너지 조건의 가정을 약화시켜도 결과는 강인하므로, 아인슈타인 방정식의 근본적 수정 또는 열화된 계량의 사용 외에는 장벽을 회피할 수 없다는 점을 시사한다.
• 열화된 계량은 위상 변화를 위한 타당한 길이 될 수 있으나, 표준 인과성 구조를 손상시키며, 일관된 처리를 위해 애쉬테카르의 1차 형식 변수와 같은 새로운 수학적 형식이 필요하다.