[논문 리뷰] Topology from enrichment: the curious case of partial metrics

Dirk Hofmann, Isar Stubbe|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 라이프셰브의 확장된 음이 아닌 실수의 쿠안탈로이드에서 대각선의 쿠안탈로이드를 통해 부분 거리 공간이 자연스럽게 유도됨을 보여줌으로써 부분 거리 공간의 범주론적 기초를 확립한다. 이는 강화된 범주에 대한 표준 닫힘 연산자를 도입하고, 이것이 부분 거리 공간에서 올바른 위상과 코시 수렴을 유도함을 증명하며, 분포자 표현 가능성에 의한 지수 가능성과 코시 완비성의 특성화를 수행한다.

ABSTRACT

For any small quantaloid $\Q$, there is a new quantaloid $\D(\Q)$ of diagonals in $\Q$. If $\Q$ is divisible then so is $\D(\Q)$ (and vice versa), and then it is particularly interesting to compare categories enriched in $\Q$ with categories enriched in $\D(\Q)$. Taking Lawvere's quantale of extended positive real numbers as base quantale, $\Q$-categories are generalised metric spaces, and $\D(\Q)$-categories are generalised partial metric spaces, i.e.\ metric spaces in which self-distance need not be zero and with a suitably modified triangular inequality. We show how every small quantaloid-enriched category has a canonical closure operator on its set of objects: this makes for a functor from quantaloid-enriched categories to closure spaces. Under mild necessary-and-sufficient conditions on the base quantaloid, this functor lands in the category of topological spaces; and an involutive quantaloid is Cauchy-bilateral (a property discovered earlier in the context of distributive laws) if and only if the closure on any enriched category is identical to the closure on its symmetrisation. As this now applies to metric spaces and partial metric spaces alike, we demonstrate how these general categorical constructions produce the "correct" definitions of convergence and Cauchyness of sequences in generalised partial metric spaces. Finally we describe the Cauchy-completion, the Hausdorff contruction and exponentiability of a partial metric space, again by application of general quantaloid-enriched category theory.

연구 동기 및 목표

• 쿠안탈로이드 강화 범주론을 통해 부분 거리 공간의 범주론적 및 위상적 구조를 통합한다.
• 범주론적 도구를 사용하여 거리 닫힘과 코시 완비성의 개념을 부분 거리 공간으로 일반화한다.
• 일반화된 부분 거리 공간의 범주에서 부분 거리 공간이 언제 지수 가능할지를 특성화한다.
• 부분 거리 공간에서의 범주론적 닫힘이 표준적인 위상적 닫힘과 일치하고, 수렴과 코시 수열을 정확히 반영함을 보인다.
• 강화된 범주론을 사용하여 부분 거리 공간에서의 코시 완비화와 하우스도르프 구성에 대한 일반적 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 주어진 소량의 쿠안탈로이드 $\mathcal{Q}$ 에서 대각선의 쿠안탈로이드 $\mathcal{D}(\mathcal{Q})$ 를 구성하며, 특히 $[0,\infty]$ 에 적용한다.
• 부분 $\mathcal{Q}$-범주를 $\mathcal{D}(\mathcal{Q})$-강화된 범주로 정의하고, 이것이 일반화된 부분 거리 공간과 정확히 일치함을 보인다.
• 모든 쿠안탈로이드 강화된 범주에 대해 객체 집합에 대한 표준 닫힘 연산자를 도입하며, 이는 거리 닫힘의 일반화이다.
• 이 닫힘이 위상 공간이 되는 조건과 대칭화된 범주에서의 닫힘과 일치하는 조건을 특성화한다.
• 범주론적 닫힘을 부분 거리 공간에 적용하고, 이것이 표준적인 위상적 수렴과 코시 수열 개념과 일치함을 증명한다.
• 강화된 범주에서 지수 가능 함수자의 일반 이론을 활용하여 부분 거리 공간의 지수 가능성에 대한 필요 및 충분 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분 거리 공간의 위상은 어떻게 그 범주론적 강화 구조에서 유도될 수 있는가?
• RQ2 부분 거리 공간에서 코시 완비성의 범주론적 대응은 무엇이며, 분포자의 표현 가능성과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 어떤 조건에서 $\mathcal{D}([0,\infty])$-범주에서의 범주론적 닫힘이 표준적인 위상적 닫힘과 일치하는가?
• RQ4 일반화된 부분 거리 공간의 범주에서 부분 거리 공간이 언제 지수 가능할 수 있는가?
• RQ5 부분 거리 공간에서 하우스도르프 구성은 강화된 범주론으로부터 도출될 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 부분 거리 공간(즉, $\mathcal{D}([0,\infty])$-범주)에서의 범주론적 닫힘은 부분 거리에 의해 유도되는 표준적인 위상적 닫힘과 일치한다.
• 수열이 부분 거리 공간에서 수렴하는 것은, 범주론적 닫힘 연산자에 의해 유도된 위상에서 수렴하는 것과 동치이다.
• 수열이 부분 거리 공간에서 코시 수열임은, 관련 분포자가 표현 가능할 때이고, 이는 라이프셰브의 코시 완비성의 특성화를 일반화한다.
• 일반화된 부분 거리 공간 $X$ 는 범주 $\mathsf{G}\mathsf{P}\mathsf{Met}$ 에서 지수 가능할 조건은, 모든 $x_0, x_2 \in X$ 와 $u,v,w \in [0,\infty[$ 에 대해 $p(x_0,x_2) \leq u - v + w$, $p(x_0,x_0) \vee v \leq u$, $p(x_2,x_2) \vee v \leq w$ 를 만족할 때, 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $p(x_1,x_1) = v$, $p(x_0,x_1) \leq u + \varepsilon$, $p(x_1,x_2) \leq w + \varepsilon$ 를 만족하는 $x_1 \in X$ 가 존재하는 것이다.
• 모든 단사 부분 거리 공간은 지수 가능하며, 단사 부분 거리 공간의 전체 부분범주가 카르테시안 닫힘이다.