[논문 리뷰] Topology of probability measure spaces, II

Тарас Банах|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 08.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 볼록 공간 위의 라돈 확률 측도에 대한 바리센터 맵을 조사하며, 그 연속성이 해당 집합이 유계일 때이고 그때에만 성립함을 증명한다. 또한 메트릭 공간의 범주에서 라돈 확률 측도의 함자 $ς$가 단순함자임을 보이며, 함자 $P_{\tau}$와 $\hat{P}$를 유계 메트릭 공간의 범주와 균일 공간의 범주로 확장하고, 그들의 메트라이제이션 및 균일 연속성 성질을 분석한다.

ABSTRACT

This paper is a follow-up to the author's work "Topology of probability measure space, I" devoted to investigation of the functors $\hat P$ and $P_τ$ of spaces of probability $τ$-smooth and Radon measures. In this part, we study the barycenter map for spaces of Radon probability measures. The obtained results are applied to show that the functor $\hat P$ is monadic in the category of metrizable spaces. Also we show that the functors $\hat P$ and $P_τ$ admit liftings to the category $BMetr$ of bounded metric spaces and also to the category $Unif$ of uniform spaces, and investigate properties of those liftings.

연구 동기 및 목표

• 라돈 확률 측도 공간에 대한 바리센터 맵과 그 연속성 성질을 조사한다.
• 바리센터 맵을 이용하여 메트릭 공간의 범주에서 함자 $\hat{P}$가 단순함자임을 증명한다.
• 함자 $P_{\tau}$와 $\hat{P}$를 유계 메트릭 공간의 범주($\mathcal{BM}etr$)와 균일 공간의 범주($\mathcal{U}nif$)로 확장한다.
• 확장된 함자들이 $\mathcal{BM}etr$와 $\mathcal{U}nif$에서의 메트라이제이션 및 균일 연속성 성질을 분석한다.
• 특히 Dieudonné 와 Hewitt 완전성과 관련하여 $P_{\tau}$와 $\hat{P}$가 완전성 유형 성질을 보존하는지에 대한 열린 질문을 다룬다.

제안 방법

• 국소적으로 볼록 공간 $E$의 약하게 유계인 부분집합 $X$에 대해 바리센터 맵 $b_X: \hat{P}(X) \to E^{**}$를 정의한다. 여기서 $b_X(\mu)(f) = \mu(f|X)$ for $f \in E^*$이다.
• 모든 $x \in X$에 대해 $b_X(\delta_x) = x$를 만족하며, $b_X$가 애फ인 임을 증명한다.
• 근처 집합과 약하게 유계 집합을 다루는 위상적 추론을 통해 $b_X$가 연속임과 동시에 $X$가 $E$에서 유계일 때에만 성립함을 증명한다.
• 유계 준거리 $p_\tau$를 통해 함자 $P_{\tau}$와 $\hat{P}$를 범주 $\mathcal{BM}etr$로 올리며, 이를 통해 균일 구조 $\mathcal{U}_\tau$를 유도한다.
• 임의의 유계 메트릭 공간 간의 균일 연속 함수 $f$에 대해 $P_{\tau}(f)$가 균일 연속임을 보인다.
• 균일 임bedding과 Ascoli 정리를 이용하여, 균일 공간 설정에서 $P_{\tau}(X)$가 완전히 유계임과 동시에 $X$가 유계임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 바리센터 맵 $b_X: \hat{P}(X) \to E^{**}$가 어떤 조건에서 연속일까?
• RQ2 함자 $\hat{P}$는 메트릭 공간의 범주에서 단순함자인가? 바리센터 맵은 이에 어떻게 기여하는가?
• RQ3 $P_{\tau}$와 $\hat{P}$는 유계 메트릭 공간의 범주와 균일 공간의 범주로 확장될 수 있으며, 이러한 확장에서 어떤 성질이 유지되는가?
• RQ4 함자 $\hat{P}$는 균일 공간에서 완전성을 보존하는가? 이 맥락에서의 제약 조건은 무엇인가?
• RQ5 균일 공간 $X$의 완전히 유계성과 $P_{\tau}(X)$의 완전히 유계성 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 바리센터 맵 $b_X: \hat{P}(X) \to E^{**}$는 집합 $X \subset E$가 유계일 때이고 그때에만 연속이다.
• 바리센터 맵과 그 성질을 통해 증명된 바에 따르면, 함자 $\hat{P}$는 메트릭 공간의 범주에서 단순함자이다.
• $P_{\tau}$와 $\hat{P}$는 유계 메트릭 공간의 범주 $\mathcal{BM}etr$로 확장 가능하며, 이로 인해 사상의 균일 연속성이 유지된다.
• $P_{\tau}$와 $\hat{P}$는 균일 공간의 범주 $\mathcal{U}nif$로도 확장 가능하며, 임의의 균일 연속 함수 $f$에 대해 $P_{\tau}(f)$도 균일 연속이다.
• 균일 공간 $(X, \mathcal{U})$는 $(P_{\tau}(X), \mathcal{U}_\tau)$가 완전히 유계일 때이고 그때에만 완전히 유계이다.
• 함자 $\hat{P}$는 일반적으로 완전한 균일 공간을 보존하지 않으며, 기수 $A$가 비가산일 때 $\hat{P}(\mathbb{R}^A)$에서 수렴하지 않는 코시 넷이 존재함으로써 이는 입증된다.