[논문 리뷰] Topology of the support of the two-dimensional random walk

Frédéric van Wijland, S. Caser외 1명|arXiv (Cornell University)|1996. 09. 02.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정사각형 격자 위에서의 두 차원 단순 대칭 랜덤 워크의 지지집합(방문한 위치들)의 위상적 성질을 장시간 한계에서 조사한다. 모든 지지집합의 전반적 관측량—방문한 위치 수, 경계 길이, 방문하지 않은 섬의 수 등—이 t / log^k t의 형태로 척도가 맞춰지며, 그 변동은 유일한 랜덤 과정 η(t)에 비례함을 보여주며, 이 과정은 Varadhan의 자가교차의 재규격화된 국소 시간으로 수렴함을 의미하여, 모든 변동이 면적 변동 ΔS(t)와 척도가 맞춰진다.

ABSTRACT

We study the support (i.e. the set of visited sites) of a t step random walk on a two-dimensional square lattice in the large t limit. A broad class of global properties M(t) of the support is considered, including, e.g., the number S(t) of its sites; the length of its boundary; the number of islands of unvisited sites that it encloses; the number of such islands of given shape, size, and orientation; and the number of occurrences in space of specific local patterns of visited and unvisited sites. On a finite lattice we determine the scaling functions that describe the averages on appropriate lattice size dependent time scales. On an infinite lattice we first observe that the all increase with t as t/\log^k t, where k is an M dependent positive integer. We then consider the class of random processes constituted by the fluctuations around average Delta M(t). We show that to leading order as t gets large these fluctuations are all proportional to a single universal random process eta(t), normalized to =1$. For t--> infinity the probability law of eta(t) tends to that of Varadhan's renormalized local time of self-intersections. An implication is that in the long time limit all Delta M(t) are proportional to Delta S(t).

연구 동기 및 목표

• 2차원 단순 대칭 랜덤 워크의 지지집합의 위상적 성질이 장시간에 걸쳐 어떻게 행동하는지 기술하기.
• 방문한 위치 수, 경계 길이, 방문하지 않은 섬의 수 등 전반적 관측량 M(t)의 척도 행동를 규명하기.
• 평균 <M(t)> 주위의 통계적 변동 ΔM(t)를 분석하고 유일한 척도 특성을 식별하기.
• 다양한 지지집합 관측량의 변동 간에 유일한 랜덤 과정 η(t)를 통한 유일한 연결 고리를 설정하기.

제안 방법

• t단계의 2차원 정사각형 격자 위에서의 단순 대칭 랜덤 워크의 지지집합을 t → ∞의 한계에서 분석한다.
• S(t) (방문한 위치 수), 경계 길이, 방문하지 않은 섬의 수, 국소 위치 패턴 등 다양한 전반적 관측량 M(t)의 집단을 고려한다.
• 유한 격자에서는 격자 크기에 따라 달라지는 시간 척도에서 <M(t)>의 척도 함수를 결정한다.
• 무한 격자에서는 주로 <M(t)> ∼ t / log^k t의 점근적 척도를 유도하며, 여기서 k는 관측량 M에 따라 달라진다.
• 변동 ΔM(t) = M(t) − <M(t)>를 분석하여, 이들이 모두 단일한 유일한 랜덤 과정 η(t)에 비례하며 ⟨η²(t)⟩ = 1임을 보인다.
• t → ∞일 때, η(t)의 확률 분포가 랜덤 워크의 자가교차의 재규격화된 국소 시간인 Varadhan의 결과로 수렴함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 랜덤 워크의 지지집합의 전반적 위상적 성질이 장시간 한계에서 시간 t에 따라 어떻게 척도가 맞춰지는가?
• RQ2 이 지지집합 관측량의 평균값 주위의 변동 ΔM(t)의 성격은 무엇인가?
• RQ3 모든 이러한 관측량의 변동을 지배하는 유일한 랜덤 과정이 존재하는가?
• RQ4 이 유일한 변동 과정은 자가교차 이론에서 알려진 양인 Varadhan의 재규격화된 국소 시간과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 방문한 위치 수와 방문하지 않은 섬의 수와 같은 다양한 지지집합 관측량의 변동은 어느 정도 상관되어 있는가?

주요 결과

• 지지집합의 모든 전반적 관측량 M(t)는 점근적으로 t / log^k t의 형태로 척도가 맞춰지며, 여기서 k는 관측량에 따라 결정되는 양의 정수이다.
• 이러한 모든 관측량의 변동 ΔM(t)는 유일한 랜덤 과정 η(t)에 비례하며, 이 과정은 단위 분산으로 정규화되어 있다.
• t → ∞일 때, η(t)의 확률 분포는 랜덤 워크의 자가교차의 재규격화된 국소 시간인 Varadhan의 결과로 수렴한다.
• 이 수렴은 모든 ΔM(t)가 점근적으로 ΔS(t), 즉 방문한 위치 수의 변동과 비례함을 의미한다.
• 변동의 유일한 척도는 지지집합의 위상학과 워크의 자가교차 통계학 사이에 깊은 연결 고리를 확립한다.
• 이 결과는 유한 격자(적절한 시간 척도를 적용한 경우)와 무한 격자에서의 장시간 한계 모두에서 성립한다.