[논문 리뷰] Toric degenerations and Gromov width of smooth projective varieties

Kiumars Kaveh|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 03.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소수 계수의 매끄러운 복소 프로젝티브 다양체 $X \subset \mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$가 차원 $n$을 지닐 때, 정수 계수의 토릭 켈러 형식을 갖는 $(\mathbb{C}^*)^n$과 심플렉틱적으로 동형인 열린 부분집합 $U$를 가짐을 증명하며, 이는 비라안의 추측을 증명함으로써 $X$의 그로모프 폭이 적어도 1임을 보여준다. 또한 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $\text{vol}(X \setminus U) < \epsilon$이 되도록 할 수 있음을 보이며, 이는 유리수 계수의 토릭 형식을 사용하여 증명된다.

ABSTRACT

Let $X \subset \mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$ be an $n$-dimensional smooth complex projective variety equipped with a Kahler structure given by a Fubini-Study Kahler form on $\mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$. We show that $X$ has an open subset $U$ (in the usual classical topology) which is symplectomorphic to the torus $(\mathbb{C}^*)^n$ equipped with an integral toric Kahler form induced by a monomial embedding in $\mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$. From this we conclude that the Gromov width of $X$ is at least one, proving Biran's conjecture for smooth projective varieties. Moreover, we show that given $\epsilon > 0$ there is an open subset $U$ in $X$ such that $vol(X - U) < \epsilon$ and $U$ is symplectomorphic to $(\mathbb{C}^*)^n$ equipped with a rational toric Kahler form.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 프로젝티브 다양체의 그로모프 폭에 관한 비라안의 추측을 증명하기 위해.
• 토릭 다양체에 기반한 심플렉틱적으로 동형인 열린 부분집합이 $X$에 존재함을 확립하기 위해.
• 해당 부분집합의 여집합의 체적을 임의로 작게 만들 수 있음을 보여주기 위해.
• 이러한 부분집합에서의 심플렉틱 구조가 유리수 계수의 토릭 켈러 형식으로 유도됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• $\mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$에서의 푸비니-스투디 켈러 형식을 사용하여 $X$에 켈러 구조를 유도하기 위해.
• $(\mathbb{C}^*)^n$과 정수 계수의 토릭 켈러 형식을 갖는 심플렉틱적으로 동형인 열린 부분집합 $U \subset X$를 식별하기 위해.
• 모노미얼 임베딩을 통해 $\mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$로의 포함을 통해 심플렉토모피즘을 구성하기 위해.
• 기본 위상수학을 활용하여 열린 집합 $U$가 조밀하고 심플렉틱적으로 잘 행동함을 보장하기 위해.
• 체적 추정을 적용하여 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $\text{vol}(X \setminus U) < \epsilon$임을 보이기 위해.
• 유리수 계수의 토릭 켈러 형식을 활용하여 정수 계수의 경우를 초월한 심플렉틱 구조를 일반화하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 매끄러운 프로젝티브 다양체 $X \subset \mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$는 $(\mathbb{C}^*)^n$과 심플렉틱적으로 동형이면서 정수 계수의 토릭 켈러 형식을 갖는 조밀한 열린 부분집합을 가질 수 있는가?
• RQ2 이러한 다양체의 그로모프 폭이 1 이상으로 아래bound될 수 있는가?
• RQ3 이러한 심플렉틱 부분집합의 여집합의 체적을 임의로 작게 만들 수 있는가?
• RQ4 이러한 부분집합에서의 심플렉틱 구조는 유리수 계수의 토릭 켈러 형식을 통해 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 매끄러운 프로젝티브 다양체 $X \subset \mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$의 그로모프 폭은 적어도 1이며, 이는 비라안의 추측을 확인한다.
• $(\mathbb{C}^*)^n$과 정수 계수의 토릭 켈러 형식을 갖는 심플렉틱적으로 동형인 열린 부분집합 $U \subset X$가 존재한다.
• 임의의 $\epsilon > 0$에 대해, $\text{vol}(X \setminus U) < \epsilon$이면서 $U$가 $(\mathbb{C}^*)^n$과 심플렉틱적으로 동형이면서 유리수 계수의 토릭 켈러 형식을 갖는 열린 부분집합 $U \subset X$가 존재한다.
• $U$에서의 심플렉틱 구조는 $\mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$로의 모노미얼 임베딩을 통해 유도되며, 이는 열린 조밀한 토릭 다양체에서의 토릭 형식을 유도한다.