[논문 리뷰] Toric Geometry and String Theory

Vincent Bouchard|ArXiv.org|2006. 09. 18.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 111인용 수 9

한 줄 요약

이 학위논문은 토릭 기하학과 끈 이론 사이의 대응을 수립하며, 국소 캘라비-야우 기하를 암시하는 토릭 데이터인 '톱'을 분류하고, 이를 아핀 및 왜곡 Kac-Moody 대수와 연관지어, 컴actification에서 랭크가 감소한 게이지 군을 가능하게 한다. 또한 기하 전이, 차이형 이론, 국소화 및 위상적 정점 기법을 사용하여 토릭 캘라비-야우 3차원의 옵티포르멜에서 닫힘 및 열린 위상 끈 진폭을 계산하며, 트리플로우와 같은 끈의 BPS 불변량을 명시적으로 도출한다.

ABSTRACT

In this thesis we probe various interactions between toric geometry and string theory. First, the notion of a top was introduced by Candelas and Font as a useful tool to investigate string dualities. These objects torically encode the local geometry of a degeneration of an elliptic fibration. We classify all tops and give a prescription for assigning an affine, possibly twisted Kac-Moody algebra to any such top. Tops related to twisted Kac-Moody algebras can be used to construct string compactifications with reduced rank of the gauge group. Secondly, we compute all loop closed and open topological string amplitudes on orientifolds of toric Calabi-Yau threefolds, by using geometric transitions involving SO/Sp Chern-Simons theory, localization on the moduli space of holomorphic maps with involution, and the topological vertex. In particular, we count Klein bottles and projective planes with any number of handles in some Calabi-Yau orientifolds. We determine the BPS structure of the amplitudes, and illustrate our general results in various examples with and without D-branes. We also present an application of our results to the BPS structure of the coloured Kauffman polynomial of knots. This thesis is based on hep-th/0303218 (with H. Skarke), hep-th/0405083 and hep-th/0411227 (with B. Florea and M. Marino).

연구 동기 및 목표

• 토릭 기하학에서 모든 토포를 분류하고, 이를 아핀 또는 왜곡 Kac-Moody 대수와 연관지어, 랭크가 감소한 게이지 군을 가진 끈 컴팩티피케이션을 탐색한다.
• 기하 전이와 국소화를 사용하여, 토릭 캘라비-야우 3차원의 옵티포르멜에서 닫힘 및 열린 위상 끈 진폭을 계산한다.
• 카일러 매개변수와 게이지 군 유형(SO/Sp)에 따라 위상 끈 진폭의 명시적 생성 함수를 유도한다.
• 진폭의 BPS 구조를 규명하고, 결과를 끈 불변량, 특히 색칠된 카우프만 다항식에 적용한다.
• 위상적 정점과 차이형 이론을 통해 토릭 기하학, 끈 이론의 dualities, 위상 불변량을 체계적으로 연결하는 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 격자 다각형과 그 쌍대를 사용하여 모든 토포를 분류하고, 왜곡 Kac-Moody 대수에 대응하는 것을 식별한다.
• 기하 전이를 사용하여, 옵티포르멜된 캘라비-야우 3차원을 라그랑주 브레인 위의 차이형 이론과 연결한다.
• 비지향적 국소화 기법을 적용하여, 크로스캡과 다양한 종수를 가진 실수 프로젝티브 평면(RP²)을 포함한 진폭을 계산한다.
• 위상적 정점 형식을 구현하여, 옵티포르멜에서 닫힘 및 열린 끈 진폭의 생성 함수를 계산한다.
• 고전적 게이지 군(SO/Sp)을 갖는 차이형 이론을 활용하여, 이중성 맵을 통해 닫힌 끈 진폭을 도출한다.
• 카일러 모듈리에서 전개하고 종수 및 차수에 따라 기여를 식별함으로써 진폭에서 BPS 불변량을 추출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 토릭 기하학에서 어떤 토포가 왜곡 Kac-Moody 대수에 대응하며, 이는 끈 컴팩티피케이션에서 랭크가 감소한 게이지 군을 어떻게 유도하는가?
• RQ2 기하 전이와 국소화를 사용하여, 토릭 캘라비-야우 3차원의 옵티포르멜에서 닫힘 및 열린 위상 끈 진폭을 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ3 진폭의 BPS 구조는 무엇이며, 색칠된 카우프만 다항식과 같은 끈 불변량과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 위상적 정점과 차이형 이론은 어떻게 조합되어 옵티포르멜 진폭의 생성 함수를 계산하는가?
• RQ5 옵티포르멜 인벌루션은 정형적 영역의 힐베르트 공간과 그 결과 진폭을 어떻게 수정하는가?

주요 결과

• 논문은 모든 토포를 분류하고, 왜곡 Kac-Moody 대수와 관련된 것을 식별하여, 랭크가 감소한 게이지 군을 가진 끈 컴팩티피케이션을 가능하게 한다.
• e⁻ᵗ의 차수 3까지의 닫힌 위상 끈 진폭에 대한 명시적 생성 함수를 계산하였으며, SO 및 Sp 게이지 군에 대해 결과를 제시하였다.
• 진폭은 최대 9개의 손을 가진 클라인 bot과 프로젝티브 평면의 기여를 BPS 불변량에 포함하고 있다.
• 트리플로우 끈에 대한 BPS 불변량은 3개 상자(3), (2,1), (1,1,1) 표현에서 계산되었으며, 비트리비얼한 종수 및 차수 의존성을 보였다.
• 트리플로우 끈에 대한 결과는 풍부한 구조를 보이며, 예를 들어 Nc=1(3),g=0,β=2 = 18 및 Nc=1(3),g=1,β=2 = 21이며, 작은 β에 대해 고종수에서 불변량이 0이 된다.
• Q=0에서의 올바른 기여 생성 함수는 무한대에서 하나의 카일러 매개변수를 가진 국소 del Pezzo dP3의 알려진 결과와 일치한다.